Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu wpisanego w okrąg

hyhy:) · Post autor: **hyhy:)** » 9 paź 2004, o 14:13

W okrąg wpisano trapez, którego podstawą jest średnia okregu. Stosunek sumy długości podstaw trapezu do jego obwodu jest równy 2/3. Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu.

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 9 paź 2004, o 16:56

No cóż treba przedłużyć ramiona trapezu.

hyhy:) · Post autor: **hyhy:)** » 9 paź 2004, o 22:58

a moze jeszcze jedna wskazowka?

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 10 paź 2004, o 17:45

Tak się właśnie zastanawiałem i doszedłem do wniosku że to za mało.
Zatem wprowadzam oznaczenia
w trapezie ABCD AB=a=2r, CD=b ,BC=DA=p,
S środek AB a zarazem okręgu.
punkt E jest rzutem punktu C na prostą AB.
Z trójkątów SEC i EBC mamy
r^2-(b/2)^2=p^2-(r-b/2)^2
Ponieważ w zadaniu występuje stosunek boków możemy przyjąć r=1 a potem przeskalować.
Otrzymamy układ równań
(2+b)/(2p+2+b) = 2/3
1-(b/2)^2=p^2-(1-b/2)^2
któy ma ze względu na p dwa rozwiązania
p1=-2*SQRT(2)-2
p2=2*SQRT(2)-2
Zatem a=2*r b=(8sqrt(2)-10)*r p=(2*SQRT(2)-2)*r

Z trójkąta EBC obliczymy cosinus.