Okregi styczne wewnetrzenie

Paweł · Post autor: **Paweł** » 29 mar 2006, o 22:43

Dane są punkty \(\displaystyle{ A}\) I \(\displaystyle{ B}\), że \(\displaystyle{ AB = 4}\). Dla jakich rzeczywistych wartości parametru \(\displaystyle{ t}\), okręgi \(\displaystyle{ O_1 = (A, 5-t) , O_2 = (B, 5- 2t)}\) są styczne wewnętrznie ?

thx in advance.

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 29 mar 2006, o 23:19

Skorzystaj z warunku na okręgi styczne wewnętrznie: \(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|=|r_{1}-r_{2}|}\)

Uwaga!
Zauważ tylko, że w powyższym wzorku \(\displaystyle{ O_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ O_{2}}\) oznaczają środki okręgów \(\displaystyle{ o_{1}}\) i \(\displaystyle{ o_{2}}\), a nie jak u ciebie - okręgi (okręgi zwyczajowo oznaczamy małymi literami, a ich środki - wielkimi).

Paweł · Post autor: **Paweł** » 29 mar 2006, o 23:42

sorry, ale nie razomiem, nie wiem jak tego uzyc Mógłbys to rozpisac ?

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 30 mar 2006, o 14:56

Proszę bardzo. W twoim zadaniu dane są dwa okręgi - jeden o środku w pukcie \(\displaystyle{ A}\) i promieniu długości \(\displaystyle{ 5-t}\) (to jest \(\displaystyle{ r_{1}}\)), a drugi o środku w pukcie \(\displaystyle{ B}\) i promieniu długości \(\displaystyle{ 5-2t}\) (oczywiście to będzie \(\displaystyle{ r_{2}}\)). Zatem mamy \(\displaystyle{ AB=4}\) oraz \(\displaystyle{ |r_{1}-r_{2}|=|t|}\) (zauważ, że tam jest wartość bezwzględna). A więc na mocy równości warunkującej okręgi styczne wewnętrznie (to co ci napisałem wcześniej) musi zachodzić:
\(\displaystyle{ AB=|r_{1}-r_{2}|\\4=|t|\\t=4\,\vee\,t=-4}\)
\(\displaystyle{ t=4}\) odrzucamy gdyż wówczas okrąg \(\displaystyle{ o_{1}(A,5-2t)}\) miałby ujemny promień. Zostaje jedyne rozwiązanie: \(\displaystyle{ t=-4}\)