Pkt na prostej dla ktorego suma odl od pkt jest najmniejsza

[KaMyLuS]

Zadanie wyglada tak: Na plaszczyznie dana jest prosta l i 2 pkt A B po jednej jej stronie. Na prostej l obrano pkt M, taki ze AM + BM jest najmniejsze oraz pkt N taki ze AN = BN. Udowodnij, ze pkt A, B, M, N leza na jednym okregu.
Jako ze niezbyt wiedzialem jak sie za to zabrac, to postanowilem przeanalizowac odpowiedz z tylu ksiazki. Wiec lecimy cytujac odp: odbijamy symetrycznie pkt B wzgledem prostej l, powstaje wtedy pkt B'... "oczywiscie M jest pkt wspolnym prostej l i prostej AB'" <== taaa bardzo oczywiste :// Moglby mi ktos wyjasnic tą "oczywistosc" tzn czemu pkt M jest pkt wspolnym tych 2och prostych?

[Zordon]

punkt przecięcia prostej l i AB' (oznaczmy C) ma własność, że \(\displaystyle{ |AC|+|B'C|}\) przyjmuje wartość minimalną (wynika to z nierówności trójkąta), zatem \(\displaystyle{ C=M}\)

[KaMyLuS]

No AC + B'C owszem jest minimalne, ale jakim cudem z tego wynika ze C=M? Tzn czemu nie moze sie tak zdazyc ze pkt M bedzie gdzies indziej niz C - wtedy poprostu zwiekszy sie dlugosc AM (w stosunku do tego, gdyby C=M), ale za to zmniejszy sie BM. Dlaczego wiec wtedy AM+BM nie mialoby byc takze minimalne?

//EDIT: OK juz wszystko jasne, jakos mi sie to udalo udowodnic ;]

[Zordon]

No AC + B'C owszem jest minimalne, ale jakim cudem z tego wynika ze C=M? Tzn czemu nie moze sie tak zdazyc ze pkt M bedzie gdzies indziej niz C - wtedy poprostu zwiekszy sie dlugosc AM (w stosunku do tego, gdyby C=M), ale za to zmniejszy sie BM. Dlaczego wiec wtedy AM+BM nie mialoby byc takze minimalne?

//EDIT: OK juz wszystko jasne, jakos mi sie to udalo udowodnic ;]

bo \(\displaystyle{ |BM|=|B'M|}\)