dowolny wielokąt

[matekleliczek]

Dany jest czworokąt o bokach dułgości a, b, c, d, Wykaż, że jego pole S spełnia nierówność:S ≤ 1/4(a+c)(b+d)

[juzef]

Nie pójdzie z Brahmagupty i średnich?

[neo.]

Oznaczenie:
boki czworokąta: a, b, c, d
kąty: alfa - kąt między a i b
beta - między c i b
gamma - c i d
delta - a i d
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha+\frac{1}{2}cd\sin\gamma}\)
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}ad\sin\delta+\frac{1}{2}cb\sin\beta}\)
Po zsumowaniu i podzieleniu przez 2 otrzymujemy:
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{4}ab\sin\alpha+\frac{1}{4}cd\sin\gamma+\frac{1}{4}ad\sin\delta+\frac{1}{4}cb\sin\beta}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \sin q 1}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}ab\sin\alpha+\frac{1}{4}cd\sin\gamma+\frac{1}{4}ad\sin\delta+\frac{1}{4}cb\sin\beta q \frac{1}{4}ab+\frac{1}{4}cd+\frac{1}{4}ad+\frac{1}{4}cb}\)
Prawa strona jest równa: \(\displaystyle{ \frac {1}{4}(a+c)(b+d)}\), a lewa: S, c.n.d