trapez opisany na okregu

natalicz · Post autor: **natalicz** » 18 sie 2009, o 17:13

Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długość 3 cm i 5cm. Odcinek łączący środki ramion dzieli trapez na dwie figury ,których stosunek pól wynosi 5:11.Oblicz długości podstaw trapezu. z gory dzieki za pomoc

kaszubki · Post autor: **kaszubki** » 18 sie 2009, o 18:06

Skorzystaj z własności czworokątów opisanych na okręgu, i z tego, że środek łączący środki ramion w trapezie jest równy średniej arytmetycznej podstaw.

natalicz · Post autor: **natalicz** » 18 sie 2009, o 19:22

z tego juz skorzystalam tylko nie wiem co dalej;/

silicium2002 · Post autor: **silicium2002** » 18 sie 2009, o 19:53

Hmm no jak co...
Masz że \(\displaystyle{ \begin{cases}3+5=a+b \\ 7a = b \end{cases}}\)
Prosty układ równań wystarczy rozwiązać... (a potem sprawdź poniżej:))

Rozwiązanie do końca:

EDIT1: W moje rachunki wkradł się błąd, ale już go poprawiłem, oczywiście kaszubki ma rację.

kaszubki · Post autor: **kaszubki** » 18 sie 2009, o 19:57

Niech a to górna podstawa, c to dolna, b to odcinek łączący środki ramion, a h to wysokość trapezu. Wiemy, że \(\displaystyle{ a+c=8}\) i że \(\displaystyle{ \frac{ \frac{(a+b)* \frac{h}{2} }{2} }{ \frac{(b+c) \frac{h}{2} }{2} }= \frac{5}{11} \Leftrightarrow \frac{a+b}{b+c}= \frac{5}{11} \Rightarrow \frac{a+ \frac{a+c}{2} }{ c+\frac{a+c}{2} }= \frac{5}{11} \Leftrightarrow \frac{3a+c}{a+3c} = \frac{5}{11} \Rightarrow 33a+11c=5a+15c \Rightarrow 28a=4c \Rightarrow 7a=c}\).
\(\displaystyle{ a+c=8 \Leftrightarrow a+7a=8 \Leftrightarrow 8a=8 \Leftrightarrow a=1 \Rightarrow c=7}\)

natalicz · Post autor: **natalicz** » 19 sie 2009, o 10:11

kaszubki=>dzieki za odp:) a mam jeszcze pyatnie skąd wiesz ze wysokosc dla jednego i drugiego pola trapezu bedzie taka sama?

kaszubki · Post autor: **kaszubki** » 19 sie 2009, o 10:20

Niech wierzchołki tego trapezu to A,B,C,D (AB i CD to podstawy, AB>CD).
Poprowadź wysokość h o spodku C' z wierzchołka C. Trójkąt BCC' jest prostokątny.
Jeżeli teraz poprowadzimy ten odcinek łączący środki ramion, to przetnie od bok BC w punkcie P, a wysokość CC' w Q. A teraz skoro BP=CP i PQ||BC', to a tw. Talesa \(\displaystyle{ PQ= \frac{BC'}{2}}\) i CQ=C'Q, czyli wysokości obu trapezów są równe.