Zadanie z kołem i kątami-->DOWÓD

BOBERSON · Post autor: **BOBERSON** » 29 mar 2006, o 17:55

Udowodnij , ze kąt , pod ktorym cięciwa koła jest widziana z punktu położonego wewnątrz koła , jest większy od kąta wpisanego , opartego na tej cięciwie .
Rysunek mam ale nie wiem jak to udowodnić, kombinowałem coś ze styczną do okręgu......

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 30 mar 2006, o 14:46

Proste ?:D

Wystarczy zrobić dobry rysunek.

Niech punkt P tworzy z cięciwą trójkąt ABP. Wierzchołek kąta opisanego oznaczmy przez C.

Zauważ, że kąt ABP < kąt ABC, czyli \(\displaystyle{ 180^o-APB}\)

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 30 mar 2006, o 15:09

Zlodiej chyba coś ci nie wyszło O ile ostatnia nierówność jest prawdziwa (jest zresztą równoważnikiem tezy) o tyle pierwsza nie za bardzo Może czegoś nie dopisałeś, bo oprócz nieprawdziwości pierwszej nierówności nie widzę związku między nią a następną nier.

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 30 mar 2006, o 16:34

Jak to nieprawdziwa ? Gdyby pierwsza nierówność była nieprawdziwa to i druga byłaby nieprawdziwa ...

Przecież: \(\displaystyle{ ABP=\frac{180^o-APB}{2}}\)

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 30 mar 2006, o 21:31

Ale tylko jeśli założymy, że APB jest równoramienny Możliwe, że czegoś nie widzę albo nie mam racji, ale wg. mnie po primo: dowód dla przypadku APB i ACB równoramiennych nie można uznać, za wystarczający dla stwierdzenia prawdziwości ogólnego przypadku; a po secundo: jeśli dobierzesz odpowiednio oba trójkąty (oczywiście nie równoramienne) to możesz otrzymać nieprawdziwość pierwszej nierówności, podczas gdy teza nadal będzie zachodzić. Jeśli się mylę to mnie popraw, ale takie jest moje subiektywne odczucie

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 31 mar 2006, o 00:10

DEXiu,

Fakt

...

Skopalem

...

Ale mam rozwiązanie dobre

...

Niec P będzie punktem w środku okręgu. Skoro mamy do czynienia z kątem wpisanym to weżmy sobie w szczególności taki kąt wpisany, że jedno z jego ramion zawiera w sobie punkt P. A, B niech będą punktami na okregu będącymi końcami cięciwy. Zauwazmy, że powstaną nam 2 trójkąty. ABC, gdzie C to wierzchołek kąta wpisanego oraz trójkąt który tak naprawde zawiera się w ABC, a mianowicie ABP, gdzie własnie P leży na odcinku AC, czy tam nie zmniejszając ogólnosci zadania BC

...

Niech to będzie własnie AC. Aauważ, że \(\displaystyle{ 180^o-APB=CPB}\) i wiemy, że \(\displaystyle{ CPB+PBC+BCP=180^o}\)

Podstawiamy do pierwszego za CPB i mamy: APB=PBC+BCP, czyli APB>PCB=ACB.

...