Długości odcinków AB, AC, BC, BD i CD spełniają warunki: \(\displaystyle{ \left|AB\right|=\left|AC\right|+\left|BC\right|}\) oraz \(\displaystyle{ \left|BC\right|+\left|BD\right|=\left|CD\right|}\). Uzasadnij, że punkty A, B, C, D leżą na jednej prostej.
(1)Gdyby \(\displaystyle{ |AB|< |BC|+|AC|}\), to wierzchołki \(\displaystyle{ A, \,B, \,C}\) tworzyłyby trójkąt (tzw. nierówność trójkąta).
(2)Gdyby zaś \(\displaystyle{ |AB|> |BC|+|AC|}\), to nie dałoby się skonstruować odcinka \(\displaystyle{ |AB|}\) z odc. \(\displaystyle{ |BC|, \ |AC|}\) potrzebny był jeszcze odcinek \(\displaystyle{ CC _{1}}\). Trzeba zauważyć, że w tym wypadku (2) byłyby 2 punkty \(\displaystyle{ C}\)
Więc jak widać, żeby \(\displaystyle{ A, \ B, \ C}\) były współliniowe, to musi zachodzić ta równość.
Analogicznie druga równość i potem z prawa przechodniości.
Starałem sie to wyjaśnić tak prosto ze względu na Twój wiek, który zazwyczaj idzie z wiedzą w parze. (choć nie zawsze)
pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 14 sie 2009, o 18:26 przez mathX, łącznie zmieniany 1 raz.
Rozpatrzmy możliwe położenia punktów A,B,C na płaszczyźnie. Jeżeli tworzą one "normalny" trójkąt, to muszą spełniać warunek \(\displaystyle{ \left|AB\right| < \left|AC\right|+\left|BC\right|}\). A skoro \(\displaystyle{ \left|AB\right|=\left|AC\right|+\left|BC\right|}\), to tworzą one trójkąt zdegenerowany do odcinka (albo do prostej, nie pamiętam jak się to poprawnie pisze).
Analogicznie rozpatrujemy punkty B,C,D. Ostatecznie wychodzi nam, że odcinki \(\displaystyle{ |AC|,|BC|,|BD|}\) leżą na jednej prostej, czyli punkty A,B,C,D leżą na jednej prostej.
