okrąg wpisany w czworokąt

Miraculum · Post autor: **Miraculum** » 28 mar 2006, o 14:59

Mam problem z udowodnieniem warunku koniecznego i wystarczalnego na to, aby w dany czworokąt płaski można było wpisac okrąg. Nie wiem jak sie do tego zabrąc Co należy zrobić? Czy wystarczy tylko znalesć odpowiednie odcinki w czworokącie i porownac z promieniem??

guzik15 · Post autor: **guzik15** » 28 mar 2006, o 16:50

Aby można było wpisać w okrąg musi mieć przeciwległe boki równe (a+c=b+d) albo przeciwległe kąty równe 180 stopni

Miraculum · Post autor: **Miraculum** » 28 mar 2006, o 17:41

a jak to zapisac by powstał nam dowód?

juzef · Post autor: **juzef** » 28 mar 2006, o 23:30

guzik15 pisze:Aby można było wpisać w okrąg musi mieć przeciwległe boki równe

Nie w każdy równoległobok da się wpisać okrąg. Istnieją też czworokąty opisane na okręgach, które równoległobokami nie są.

guzik15 pisze:albo przeciwległe kąty równe 180 stopni

Jeszcze nie widziałem czworokąta, którego kąt wewnętrzny byłby półpełny.

Miraculum, w czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy boków przeciwległych są w nim równe. Dowód konieczności jest dość łatwy, polega na czterokrotnym zastosowaniu zasadniczego twierdzenia planimetrii i dodaniu otrzymanych równości stronami. Dowód wystarczalności jest mniej przyjemny.

guzik15 · Post autor: **guzik15** » 29 mar 2006, o 21:01

juzef pisze:Jeszcze nie widziałem czworokąta, którego kąt wewnętrzny byłby półpełny.

No przepraszam, źle napisałem, suma przeciwległych kątów musi być równa 180 stopni

Nie w każdy równoległobok da się wpisać okrąg. Istnieją też czworokąty opisane na okręgach, które równoległobokami nie są.

A tutaj nie kumam, po prostu a+c=b+d

neo007 · Post autor: **neo007** » 29 mar 2006, o 21:26

guzik15 pisze:suma przeciwległych kątów musi być równa 180 stopni

To warunek, żeby na okręgu opisać czworokąt.

Podsumowując:

W czworokąt da się wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma przeciwległych boków czworokąta jest równa (a+c=b+d)
W okrąg da się wpisać czworokąt wtedy i tylko wtedy gdy suma przeciwległych kątów jest równa 180

juzef · Post autor: **juzef** » 29 mar 2006, o 21:31

guzik15, jeśli w czworokącie boki przeciwległe mają równe długości, to jest on równoległobokiem. Żeby napisać a+c=b+d musisz najpierw wytłumaczyć co poszczególne literki oznaczają. Ponadto mylisz pojęcia okręgu wpisanego w czworokąt i czworokąta wpisanego w okrąg.

Miraculum · Post autor: **Miraculum** » 30 mar 2006, o 13:33

Wszytsko byłoby dobrze tylko ze trzeba teraz udowodnic ze np odpowiednie boki sa sobie rowne ::) i dojsc do tego jakie sa warunki WW i WK na wpisanie okregu w czworokat

juzef · Post autor: **juzef** » 30 mar 2006, o 20:39

Warunek konieczny napisałem. Wydaje mi się, że przy jego pomocy można bez większych trudności udowodnić jego wystarczalność. Polecałbym jednak wypożyczenie jakiegoś podręcznika do geometrii, gdyż ciężko to wytłumaczyć bez rysunku itp.