suma odległości

[adacho90]

Obliczyć sumę kwadratów odległości wierzchołków kwadratu o boku a od dowolnej prostej przechodzącej przez jego środek.

[Kibu]

Może jestem w błędzie, ale czy nie musimy przyjąć, że coś jeszcze znamy? Bo ta odległość nie jest stała. Weźmy dwie proste spełniające warunki: jedna przechodzi przez środki przeciwległych boków i szukana suma wynosi 2a, a druga zawiera przekątną i szukana suma to \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\). A jeśli mamy dane coś jeszcze, to można skorzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej...

[kaszubki]

Pewnie mu chodziło o sumę kwadratów tych odległości, czyli zadanie z 1 etapu 4 OMG.

[adacho90]

dokładnie, kwadraty odległości... źle napisałem

[Kibu]

Przyjmijmy początek układu współrzędnych w środku kwadratu, niech ponadto osie układu zawierają przekątne kwadratu. Wówczas wierzchołki mają współrzędne: \(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{2}a}{2},0), (-\frac{\sqrt{2}a}{2},0), (0, \frac{\sqrt{2}a}{2}), (0,-\frac{\sqrt{2}a}{2})}\).

Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc ma równanie y=bx, czyli: bx-y+0=0.

Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej: (\(\displaystyle{ d=\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_0, y_0}\) współrzędne punktu, a \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) równwnie prostej, mamy:

\(\displaystyle{ d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2=\frac{(b^2+1)a^2}{b^2+1}=a^2}\).

[fon_nojman]

Metoda z rysunkiem:

- to kólko jest niepotrzebne.

\(\displaystyle{ r=\frac{\sqrt2}{2}a}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha=\frac{x}{\frac{\sqrt2}{2}a}}\) stąd \(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt2}{2}a \sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha=\frac{y}{\frac{\sqrt2}{2}a}}\) stąd \(\displaystyle{ y=\frac{\sqrt2}{2}a \cos \alpha}\)

Szukana suma wynosi
\(\displaystyle{ 2(\frac{\sqrt2}{2}a \sin \alpha)^2+2(\frac{\sqrt2}{2}a \cos \alpha)^2=a(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha)=a}\)

[adacho90]

dziękuję, ciekawe rozwiązania. przydałoby mi się jeszcze takie z wykorzystaniem tylko wiedzy z 1,2 klasy gimnazjum, ale może to już niewykonalne

[Wasilewski]

Trochę wykorzystam rysunek fon_nojmana. Oznaczenia:
A, B, C, D - wierzchołki kwadratu.
\(\displaystyle{ y = |AE|, \ x = |BF|}\), co pokazuje, czym są punkty E i F. Dodatkowo środek kwadratu oznaczmy jako O. Trójkąty AOE i BOF są w oczywisty sposób podobne, a boki AO i BO mają równe długości, zatem rozważane trójkąty są przystające, stąd wynika równość \(\displaystyle{ |OE|=|BF|}\). Widać więc, że
\(\displaystyle{ x^2+y^2 = |AO|^2}\)
na mocy twierdzenia Pitagorasa.

[adacho90]

rozumiem