nierówności miedzy odcinkami

[marek12]

Na płaszczyźnie dane
są punkty A, B, C, D. Udowodnij, że co najmniej jedna z nierówności

\(\displaystyle{ |AC| + |AD| \ge |AB|}\)

\(\displaystyle{ |BC|+|BD| \ge |AB|}\)

jest prawdziwa.

[fon_nojman]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ |AC|+|AD|<|AB|}\). Z \(\displaystyle{ |AB| \le |AC|+|BC|}\) mamy \(\displaystyle{ |AC|+|AD|<|AC|+|BC|}\) czyli \(\displaystyle{ |AD|<|BC|}\). Dodając obustronnie \(\displaystyle{ |DB|}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ |AD|+|DB|<|BC|+|BD|}\). Ostatecznie \(\displaystyle{ |AB|<|BC|+|BD|}\).

Analogicznie gdy założymy \(\displaystyle{ |BC|+|BD|<|AB|}\).