podział trapezu na trzy równe części

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
szymek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 659
Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Strzyżów
Podziękował: 136 razy
Pomógł: 54 razy

podział trapezu na trzy równe części

Post autor: szymek12 »

Dany jest trapez prostokątny o wymiarach: 83 - wysokość, 39 i 25 - długości podstaw. Jak podzielić ten duży trapez na trzy mniejsze trapezy(tzn. tylko za pomocą prostych równoległych do podstaw) o równych polach. Proszę również o podanie rozwiązania i wyniku.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

podział trapezu na trzy równe części

Post autor: piasek101 »

Może tak (nie robiłem do końca - za gorąco) :

x - jedna z ,,szukanych" podstaw
y - wysokość trapezu o podstawach (x) i (25)

Z warunku pól :

\(\displaystyle{ 0,5(25+x)y=\frac{1}{3}\cdot 0,5(25+39)83}\) oraz \(\displaystyle{ 0,5(39+x)(83-y)=\frac{2}{3}\cdot 0,5(25+39)83}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

podział trapezu na trzy równe części

Post autor: Dasio11 »

Można to zrobić chamską drogą proporcji albo poczekać na bardziej zmyślne rozwiązanie. Moja propozycja:

Dzielimy trapez na 3 części, jak w zadaniu, o wysokościach \(\displaystyle{ h_1}\), \(\displaystyle{ h_2}\), \(\displaystyle{ h_3}\) takie, że \(\displaystyle{ h_1 + h_2 + h_3 = h =83, \quad h_3>h_2>h_1}\). Podstawy powstałych trapezów oznaczamy przez \(\displaystyle{ a, x, y, b, \ \ a>x>y>b}\). Kąt ostry - \(\displaystyle{ \alpha}\). Mamy:

\(\displaystyle{ \ctg \alpha =\frac{a-b}{h}=\frac{a-x}{h_1}=\frac{x-y}{h_2}=\frac{y-b}{h_3} \\
\\
\frac{(a+x) \cdot h_1}{2}=\frac{(x+y) \cdot h_2}{2}=\frac{(y+b) \cdot h_3}{2}=\frac{1}{3} \cdot \frac{(a+b) \cdot h}{2}=\frac{2656}{3} \\
\\
(\frac{a-b}{h}) \cdot (\frac{1}{3} \cdot \frac{(a+b) \cdot h}{2})=(\frac{a-x}{h_1}) \cdot (\frac{(a+x) \cdot h_1}{2}) \\
\\
\frac{(a-b)(a+b)}{6}=\frac{(a-x)(a+x)}{2} \\
\\
a^2-b^2=3a^2-3x^2 \\
\\
x=\sqrt{\frac{b^2+2a^2}{3}}=\sqrt{\frac{b^2+2a^2}{3}} \\
\\
h_1=\frac{h(a-x)}{a-b}=\frac{h(a-\sqrt{\frac{b^2+2a^2}{3}})}{a-b}}\)


Analogicznie \(\displaystyle{ h_2}\) i \(\displaystyle{ y}\)... Ale nie jest to ładne rozwiązanie.
Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

podział trapezu na trzy równe części

Post autor: fon_nojman »

Dasio11 coś pokręciłeś, przecież mamy dwa kąty ostre w trapezie (poza trapezem prostokątnym), a poza tym \(\displaystyle{ h_3,h_1}\) nie tworzą z odp podstawami trójkątów o kącie \(\displaystyle{ \alpha}\).

Mój pomysł jest taki, żeby najpierw wyznaczyć te wysokości dla trapezu prostokątnego (coś wpodobie Dasio11 tylko z poprawkami) a później sprawdzić czy to co wyszło jest dobre dla ogólnego przypadku.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

podział trapezu na trzy równe części

Post autor: Dasio11 »

szymek12 pisze:Dany jest trapez prostokątny [...]

Podstawy nie, ale różnice sąsiednich podstaw wraz z wysokościami cząstkowymi - owszem.

.
Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

podział trapezu na trzy równe części

Post autor: fon_nojman »

sorki to ja pokręciłem.
rodzyn7773
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1659
Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 278 razy

podział trapezu na trzy równe części

Post autor: rodzyn7773 »

jest bardzo prosty sposób tylko nie wiem czy zdołam to wyjaśnić
każdy pewnie patrzy na ten trapez w "normalny sposób". odwróćcie go tak, aby wysokość tego trapezu była naszą podstawą. Pole naszej figury raczej się nie zmieni i będzie wynosiło \(\displaystyle{ \frac{39+25}{2}*83=32*83}\) prosta przechodząca przez środek naszej podstawy ma długość \(\displaystyle{ \frac{39+25}{2}=32}\). podzielmy naszą krótszą podstawę na 3 części. pierwsze 2 będą miały długość \(\displaystyle{ \frac{1}{3} *32}\), a ostatnia to oczywiście \(\displaystyle{ 25- \frac{2}{3} *32}\).
Każda nasza "mała" figura ma mieć pole równe \(\displaystyle{ \frac{1}{3}*83*32.}\) poprowadźmy zatem 2 proste równoległe do wysokości = 83 które dzielą krótszą podstawę na 3 części 2 z nich są równe \(\displaystyle{ \frac{1}{3}*32}\). Pola powstałych 2 prostokątów (prostokąt jest trapezem) będą równe \(\displaystyle{ \frac{1}{3} *32*83}\) Sprawdźmy teraz czy pozostała część naszego trapezu, która również jest trapezem, ma takie samo pole
\(\displaystyle{ P= \frac{25- \frac{2}{3} *32+39-\frac{2}{3} *32}{2}*83= [\frac{25+39}{2}- \frac{2}{3} *32]*83= \frac{1}{3}*32*83}\)

I chyba to koniec
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

podział trapezu na trzy równe części

Post autor: piasek101 »

rodzyn7773 pisze:... poprowadźmy zatem 2 proste równoległe do wysokości = 83 które dzielą krótszą podstawę na 3 części 2 z nich są równe \(\displaystyle{ \frac{1}{3}*32}\). Pola powstałych 2 prostokątów (prostokąt jest trapezem)...

I chyba to koniec
Dla mnie nie.
Może nie zauważyłem wszystkiego (dosyć to zawile opisane - może wrzuć rysunek) - ale trzeba było ,,kroić" równolegle do podstaw wyjściowego trapezu (patrz treść zadania) - a Ty zrobiłeś inaczej.
rodzyn7773
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1659
Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 278 razy

podział trapezu na trzy równe części

Post autor: rodzyn7773 »

sory nie doczytałem
anth78
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 3 lis 2013, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Luboń

podział trapezu na trzy równe części

Post autor: anth78 »

Dasio11 pisze:Ale nie jest to ładne rozwiązanie.
Uważam, że to jest ładne rozwiązanie, no bo nie ma innego przecież. Chyba, że chodzi o drogę, którą do niego doszedłeś. Też jest zresztą bardzo ładna.
Ze swojej strony podam jeszcze podział na 2 części:
\(\displaystyle{ x = \sqrt{ \frac{a ^{2}+b ^{2}}{2}}\)
No i dodatkowo wyliczony y dla podziału na 3 części:
\(\displaystyle{ y = \sqrt{ \frac{a ^{2}+2b ^{2}}{3}}\)
Ostatnio zmieniony 3 lis 2013, o 20:52 przez anth78, łącznie zmieniany 1 raz.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

podział trapezu na trzy równe części

Post autor: piasek101 »

anth78 pisze:... no bo nie ma innego przecież.
A moje ?
anth78
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 3 lis 2013, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Luboń

podział trapezu na trzy równe części

Post autor: anth78 »

piasek101 pisze: A moje ?
Wzór na x będzie przecież w tym przypadku jeden i ten sam, niezależnie jak się do niego doszło.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

podział trapezu na trzy równe części

Post autor: piasek101 »

Uważałem, że piszesz o rozwiązaniu jako o sposobie - a nie o wyniku.
ODPOWIEDZ