czworokat jest prostokątem

[celia11]

proszę o pomoc w rozwiazaniu:

Dwusieczne kątów zewnętrznych rombu przecinają się w punktach A,B,C,D. Wykaż, ze czworokąt ABCD jest prostokątem oraz że suma długości jego przekatnych jest równa obwodowi rombu.

dziękuję

[silicium2002]

Przyjmijmy oznaczenia dla kątów rombu, niech \(\displaystyle{ \alpha}\) oznacza dwa kąty, zaś \(\displaystyle{ 180 - \alpha}\) dwa pozostałe wtedy mamy kąty zewnętrzne o wartościach: (\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \alpha \ i \ 90- \frac{1}{2} \alpha}\) Rozpatrujemy cztery przystające trójkąty w których dwa kąty stanowią kąty zewnętrzne, a więc trzeci kąt wynosi: \(\displaystyle{ 180-(90- \frac{1}{2} \alpha )- \frac{1}{2} \alpha = 90}\)

Te kąty proste to własnie katy szukanego przez nas czworokąta, z tego zaś że ma on cztery kąty proste wynika iż jest on prostokątem

c.b.d.o

Pozdrawiam