Wykazanie przystawania

[alchemik]

Mam problem, odpowiedz na niego za pewne brzmi twierdząco, jednak ja mam jakąś zaćmę, proszę o pomoc.

Mamy czworokąt ABCD którego przekątne przecinają się od kątem prostym, oraz kąty ABC i CDA są tej samej miary, czy z tego wynika, że trójkąty ABC i CDA są przystające?

[JankoS]

Chyba (?) nietrudno pokazać, że pr. AC jest osią symetrii czworokąta, a on sam jest deltoidem.

[czeslaw]

A mógłbyś? Ja chciałem to wykazać i czegoś mi brakuje.

[alchemik]

Deltoidem to on fatycznie jest, ale nie potrafię wykazać tej osi symetrii.

[czeslaw]

No tak, samo bycie deltoidem wynika z defincji deltoidu (można by się upierać - czworokąt taki może być albo deltoidem zwyczajnym, albo szczególnym przypadkiem deltoidu, który według niektórych już deltoidem nie jest - jeśli byłby to romb albo nawet kwadrat). Ale ta właściwa część dowodu nie wychodzi z podstawowego ujęcia problemu, widać tylko, że te dwa trójkąty mają wspólny bok i identyczne kąty naprzeciwko tego boku. Widać jeszcze jeden fakt, ale nie potrafię go przedstawić we właściwy sposób.

[JankoS]

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ D \neq D'= S _{AC} (B).}\) Z założenia i przypuszczenia \(\displaystyle{ \sphericalangle ADC= \sphericalangle AD'C.}\) Z własności symetrii \(\displaystyle{ D' \in prAD.}\) Możliwe są dwa przypadki : A) \(\displaystyle{ D' \in \overline {OD}}\) lub B) \(\displaystyle{ D \in \overline {OD'},}\) gdzie \(\displaystyle{ O= \overline{AC} \cap \overline{BD}.}\)
Wtedy trójkąty prostokątne AOD i AOD' są przystające skąd OD = OD', co jest sprzeczne z przypuszczeniem, że D jest różny od D'.
Przypuszczenie, że pr AS nie jest osią symetrii doprpwadziło do sprzeczności, a więc okazało się fałszywe i pr AC jest osią symetrii.

[alchemik]

Wtedy trójkąty prostokątne AOD i AOD' są przystające skąd OD = OD', co jest sprzeczne z przypuszczeniem, że D jest różny od D'.

Ja wiem, że błądzę i to jest jasne co próbuję udowodnić, ale w twoim dowodzie widzę lukę, może się da jakoś szybko załatać?
Napisałeś, że są przystające, to że mają jeden bok i kąt jeden kąt taki sam (kąt prosty) o niczym jeszcze nie świadczy.

[JankoS]

No jeszcze kąty ADC i AD'C mają takie same miary.

[alchemik]

Dalej mi nie pasuje, ale można zauważyć, że jeżeli:
\(\displaystyle{ 1) D' \in \overline {OD} \Rightarrow |\sphericalangle AD'C|> |\sphericalangle ADC| \\ 2) D \in \overline {OD'} \Rightarrow |\sphericalangle AD'C|< |\sphericalangle ADC|}\)

Stąd \(\displaystyle{ D'=D}\).

[JankoS]

Dalej mi nie pasuje, ale można zauważyć, że jeżeli:
\(\displaystyle{ 1) D' \in \overline {OD} \Rightarrow |\sphericalangle AD'C|> |\sphericalangle ADC| \\ 2) D \in \overline {OD'} \Rightarrow |\sphericalangle AD'C|< |\sphericalangle ADC|}\)

Stąd \(\displaystyle{ D'=D}\).

Można i tak (tylko trzeba te nierówności wykazać). Wnosek, że \(\displaystyle{ D=D'}\) jest sprzeczny z przypuszczeniem, że \(\displaystyle{ D \neq D'}\), a więc przypuszczenie, że Ac nie jest osią symetrii jest fałszywe.

[alchemik]

Ok wielki dzięki, z wykazaniem nierówności raczej nie powinno być problemu, można udowodnić to korzystając chociażby z funkcji trygonometrycznych i monotoniczności w przedziale.