Środek okręgu wpisanego w wielokąt

[czeslaw]

Wykaż, że środek okręgu wpisanego w wielokąt o dowolnej ilości boków jest punktem przecięcia wszystkich jego dwusiecznych.

[alchemik]

Wynika to z Najmocniejszego Twierdzenia Geometrii i podobieństwa trójkątów.


Weźmy dwa kolejne boki wielokąta i przyjmijmy następujące oznaczenia.
-pierwszy bok AB
-drugi bok BC
-środek okręgu wpisanego O i niech r będzie równy promieniowi
-punkt styczności okręgu z pierwszym bokiem C
-punkt styczności okręgu z drugim bokiem D

Zauważ, że dostajemy dwa trójąty OBC i OBD, dla których zachodzi:
OC=OD=r
BC=BD, co wynika z Najmocniejszego Twierdzenia Geometrii
OB=OB, czego tłumaczyć nie muszę.

Zatem wnioskuję, że trójkąty OBC i OBD są przystające, a zatem odpowiedni kąty są tej samej miary, co dowodzi tezę.