proszę o pomoc w rozwiazaniu:
Udowodnij, że czworokat ma parę boków równoległych i równej długości, to jest równoległobokiem.
dziekuję
czworkąt jest równoległobokiem
-
dramacik
- Użytkownik
- Posty: 129
- Rejestracja: 27 lut 2009, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 31 razy
czworkąt jest równoległobokiem
Narysujmy ten czworokąt. Niech boki, o których wiemy, że są równoległe i przystające, to \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\), a dwa pozostałe boki to \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\)
Załóżmy, że nie jest równoległobokiem. Wobec tego proste \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się w pewnym punkcie, powiedzmy \(\displaystyle{ E}\). Ale z podobieństwa trójkątów wynika, że \(\displaystyle{ \frac{|EA|}{|AB|}=\frac{|EC|}{|CD|}}\), a ponieważ wyraźnie widać, że \(\displaystyle{ |EA| \neq |EC|}\), więc musi być \(\displaystyle{ |AB|\neq|CD|}\), co jest sprzeczne z założeniem przystawania boków. Czworokąt musi być wobec tego równoległobokiem.
Załóżmy, że nie jest równoległobokiem. Wobec tego proste \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się w pewnym punkcie, powiedzmy \(\displaystyle{ E}\). Ale z podobieństwa trójkątów wynika, że \(\displaystyle{ \frac{|EA|}{|AB|}=\frac{|EC|}{|CD|}}\), a ponieważ wyraźnie widać, że \(\displaystyle{ |EA| \neq |EC|}\), więc musi być \(\displaystyle{ |AB|\neq|CD|}\), co jest sprzeczne z założeniem przystawania boków. Czworokąt musi być wobec tego równoległobokiem.