środki boków równoległoboku

[celia11]

proszę o pomoc w rozwiazaniu:

Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokata są wierzchołkami równoległoboku.

dziekuję

[Inkwizytor]

Czworokąt wypukły

Dane są 4 boki czworokąta ABCD

(1.) Zaznacz 4 środki boków
(2.) Poprowadź przekątną AC - mamy dwa trójkąty: ABC i ACD
(3.) Połącz środki sąsiednich boków AB i BC w trójkącie ABC
(4.) Połącz środki sąsiednich boków CD i AD w trójkącie ACD
(5.) W każdym z dwóch przypadków powstaje mały trójkącik który jest podobny do swojego "większego brata" (mają wspólny wierzchołek B albo D)
(6.) W obu przypadkach bok łączący środki boków jest równoległy do AC (własnośc środkowych w trójkątach) czyli do siebie nawzajem też (cecha przechodniości relacji równoległości)
(7.) Całą operację powtórz dla przekątnej BD - wyjdzie analogicznie
(8.) Mamy zatem dwie pary boków równoległych -> równoległobok

-- 14 lip 2009, o 12:00 --

Czworokąt wklęsły

Dane są 4 boki czworokąta ABCD. Niech przy wierzchołku C będzie kąt wew. większy od 180stopni.

(1.) Zaznacz 4 środki boków
(2.) Dodaj dodatkowy odcinek pomocniczy BD (powinien być poza figurą)
(3.) Połącz środki AD i AB.
(4.) Górny mały trójkąt z wierzchołkiem A jest podobny do ABD czyli prosta łącząca środki AD i AB jest równoległa do BD
(5.) Połącz środki BC i CB (znowu będzie poza figurą).
(6.) Górny mały trójkąt z wierzchołkiem C jest podobny do BCD czyli prosta łącząca środki DC i BC jest równoległa do BD
(7.) I znowu z przechodniości równolegości mamy pierwsza pare boków równoległych
(8.) Poprowadź przekątną AC - mamy dwa trójkąty: ABC i ACD
(9.) Wykonujesz analogiczny chwyt jak dla czworokąta wypukłego
(10.) Mamy zatem dwie pary boków równoległych -> równoległobok

[czeslaw]

Na rysunku to by było tak:



Z faktów, że punkt \(\displaystyle{ B}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AC}\) oraz że punkt \(\displaystyle{ D}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ CE}\), wynika:
\(\displaystyle{ \frac{|BC|}{|CD|}=\frac{|AC|}{|CE|}}\)
Zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa mamy:
\(\displaystyle{ BD || AE}\)
I dalej:
\(\displaystyle{ \triangle BCD \sim \triangle ACE}\)
Skąd wynika, że:
\(\displaystyle{ \frac{|BC|}{|BD|}=\frac{|AC|}{|AE|} \xrightarrow{2|BC| = |AC|} |AE| = 2|BD|}\)
W ten sam sposób wykazujemy, że
\(\displaystyle{ \triangle FGH \sim \triangle AEG}\)
i analogicznie:
\(\displaystyle{ |AE| = 2|FH|}\)
Z poprzedniego wynika więc, że
\(\displaystyle{ |BD|=|FH|}\)
Odcinki te są równe, a wcześniej udowodniliśmy też, że są równoległe. W identyczny sposób wykazujemy równość i równoległość odcinków \(\displaystyle{ BH}\) oraz \(\displaystyle{ DF}\)
To kończy dowód, ponieważ czworokąt \(\displaystyle{ BDFH}\) ma dwie pary boków równych i równoległych, co jest warunkiem wystarczającym do stwierdzenia, że jest on równoległobokiem.

Dla czworokąta wklęsłego nie trzeba nic więcej, zdaje się, że rozważyłem ogólny przypadek czworokąta (na rysunku wypukły, natomiast wklęsły nie rózni się niczym poza położeniem niektórych odcinków względem siebie).