czworokat jest kwadratem

[celia11]

proszę o pomoc w rozwiazaniu:

Dwusieczna kata prostego C w trójkacie prostokątnym ABC przecina przeciwprostokatną w punkcie D. Równoległe do przyprostokatnych wykreślone przez punkt D wyznaczaja na ;przyprostokatnych punkty M i N. Udowodnij , że czworokat CNDM jest kwadratem.

Dziekuję

[lina2002]

Niech równoległa do \(\displaystyle{ AC}\) przecina \(\displaystyle{ BC}\) w pkc. \(\displaystyle{ E}\), a równoległa do \(\displaystyle{ BC}\) przecina \(\displaystyle{ AC}\) w pkc. \(\displaystyle{ F}\). Kąty \(\displaystyle{ \angle DEC}\) i \(\displaystyle{ \angle DFC}\) są oczywiście proste. Tak więc również kąt \(\displaystyle{ \angle EDF}\) jest prosty (bo jest równy \(\displaystyle{ 360-3 \cdot 90}\)). Ponieważ \(\displaystyle{ CD}\) jest dwusieczną, więc \(\displaystyle{ \angle ECD=\angle FCD=45}\). Tak więc również kąty \(\displaystyle{ EDC}\) i \(\displaystyle{ FDC}\) są równe \(\displaystyle{ 45}\). Tak trójkąty \(\displaystyle{ DEC}\) i \(\displaystyle{ DFC}\) są równoramienne i przystające, więc \(\displaystyle{ \left|CE \right| =\left|ED \right|=\left|DF \right|=\left|FC \right|}\). Tym samym figura ta jest kwadratem.

EDIT: Sorry, ale nie jakoś nie zauważyłam, że punkty są już nazwane, więc w moim rozwiązaniu należałby zmienic \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) na \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\).