wyznaczyć kąty trójkąta prostokątnego

[dido]

W trójkącie prostokątnym ABC \(\displaystyle{ | \sphericalangle C|}\)= 90 stopni, poprowadzono wysokość CD. Wyznacz kąty w ntym trójkącie, jeżeli |DB| - |AD| = |AC|

[lukasz1804]

Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ |CD|^2=|AC|^2-|AD|^2=|BC|^2-|DB|^2}\). Stąd w szczególności \(\displaystyle{ |AC|^2=|BC|^2-(|DB|^2-|AD|^2)}\). Stąd, z oczywistej równości \(\displaystyle{ |AB|=|AD|+|DB|}\) i z założenia dostajemy \(\displaystyle{ |AC|^2=|BC|^2-|AB||AC|}\). Ponownie korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ |BC|^2=|AB|^2-|AC|^2}\), skąd z kolei wynika teraz, że \(\displaystyle{ |AC|^2=|AB|^2-|AC|^2-|AB||AC|}\). Zatem mamy

\(\displaystyle{ |AB|^2-2|AC|^2-|AB||AC|=0}\).

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \alpha}\) miarę kąta w trójkącie ABC zawartego między bokami AB i BC. Wtedy, dzieląc ostatnią równość stronami przez \(\displaystyle{ |AB|^2}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 1-2\sin^2\alpha-\sin\alpha=0}\). Stąd \(\displaystyle{ \sin\alpha=-1}\) lub \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{1}{2}}\). Pierwsze z rozwiązań nie daje kąta w trójkącie, więc mamy \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{1}{2}}\), tj. \(\displaystyle{ \alpha=30^{o}}\). W konsekwencji drugi kąt ostry trójkąta ABC ma miarę \(\displaystyle{ 60^{o}}\).