Oblicz stosunek obwodu trapezu do jego wysokości

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
iwcia100
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 26 wrz 2004, o 12:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bytom

Oblicz stosunek obwodu trapezu do jego wysokości

Post autor: iwcia100 »

Na kole opisano trapez o kątach przy podstawie 60 i 45 stopni. Oblicz stosunek obwodu trapezu do jego wysokości.
Awatar użytkownika
Zlodiej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1910
Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 108 razy

Oblicz stosunek obwodu trapezu do jego wysokości

Post autor: Zlodiej »

Narysuj sobie to. Wtedy łatwiej będzie zauważyć niektóre rzeczy.

Oznaczmy podsatwy jako a i b ,a ramiona jako c i d, stąd obwód=a+b+c+d.

Narysuj dwie wysokości - jedną wychodząca z wierzchołka naprzeciw kąta 60 stopni, a drugą wychodzącą z wierzchołka 45 stopni. Zauważ, że powstały trójkąty: jeden o kątach 45, 45 i 90 stopni, a drugi o kątach 30, 60 i 90 stopni. Korzystając z własności tych trójkątów i wiedząc, że ramiona mają długości c i d, możesz obliczyć h.

\(\displaystyle{ h=\frac{1}{2}d\sqrt{3}\wedge h=\frac{1}{2}c\sqrt{2}}\)

Porównujesz teraz te równania i otrzumujesz:

\(\displaystyle{ d\sqrt{3}=c\sqrt{2}}\)

Wyliczamy stąd c i usuwamy niewymierność z mianownika:

\(\displaystyle{ c=\frac{d\sqrt{6}}{2}}\)

Skoro trapez ten jest opisany na okręgu, zachodzi równość a+b=c+d, a więc obwód=2(c+d). Jak podstawimy tutaj c to otrzymamy:

\(\displaystyle{ Obw=\frac{2d(1+\sqrt{6})}{2}}\)

Zostaje obliczyć \(\displaystyle{ k=\frac{obwod}{h}}\)

\(\displaystyle{ k=\frac{\frac{2d(1+\sqrt{6})}{2}}{\frac{1}{2}d\sqrt{3}}=\frac{\frac{2(1+\sqrt{6})}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}=\frac{4+2\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{3}}\)

Mam nadzieję, że jest dobrze.
ODPOWIEDZ