Okręgi styczne do osi OX i danej prostej

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 27 cze 2009, o 23:27

Znajdź równania okręgów o promieniu 3 stycznych jednocześnie do osi OX i do prostej 12x+5y = 0

Udało mi sie wymyślic że są to okręgi w których musi zajść y=0, b=3 lub b=-3

bedbet · Post autor: **bedbet** » 28 cze 2009, o 00:12

Jeżeli założysz, że \(\displaystyle{ y=0}\), to równanie nie będzie przedstawiać okręgu.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 28 cze 2009, o 00:25

Mógłbyś pomóc rozwiązać to zadanie? Bo w sumie jedyne co tu może się zmieniać to współrzędna środka okręgu a, tylko w jakich granicach, jak to wyliczyć?-- 28 cze 2009, o 01:02 --Rozwiązałem w ten sposób, że rozpatrywałem okręgi \(\displaystyle{ (x-a)^2 + (y-3)^2 = 9}\) lub \(\displaystyle{ (x-a)^2 + (y+3)^2 = 9}\) gdzie w obu przypadkach podstawiłem y = -12/5 x, i rozwiązywałem równania względem parametru a, otrzymując:

W pierwszym przypadku wyszło:
a1 = 2
a2 = -4,5
zas w drugim:
a3 = 4,5
a4 = -2

Powinno być ok, problem w tym, że to zadanie powinno się rozwiązywac bez używania kalkulatorów. A współczynniki były naprawde duże (np pierwiastek z delty wyszedł 93 600), jest więc może jakiś inny sposób rozwiązania tego zadania?

bedbet · Post autor: **bedbet** » 28 cze 2009, o 01:19

Będą to dwa rodzaje równań okręgów:

\(\displaystyle{ I. \ (x-a)^2+(y-3)^2=9\\
\\
II. \ (x-a)^2+(y+3)^2=9}\)

Wyliczasz z równania prostej na przykład \(\displaystyle{ y}\) i wstawiasz do powyższych równań, które z warunku styczności będą mieć jedno rozwiązanie - stąd właśnie otrzymasz niewiadomą \(\displaystyle{ a}\). Ostatecznie powinny wyjść cztery takie okręgi.

Takie liczby Ci duże wychodziły? Wynik jest ok. Można jeszcze z symetrii jeszcze skorzystać.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 28 cze 2009, o 14:48

A w jaki sposób z symetrii?

bedbet · Post autor: **bedbet** » 28 cze 2009, o 16:47

W taki, że wystarczy tylko np. dwa okręgi powyżej osi \(\displaystyle{ Ox}\) wyznaczyć, a potem skorzystać z symetrii.

smmileey · Post autor: **smmileey** » 1 lut 2011, o 13:01

temat stary, ale ciekawi mnie jedna rzecz. Bartek1991 pisał, że rozwiązywał równanie względem parametru a. To znaczy? Założył dodatkowy warunek, że delta musi być równa 0?

Jak sam liczyłem to na początku robiłem podobnie: zauważyłem, że współrzędne y okręgów będą wynosić 3 lub -3 i skorzystałem ze wzoru na odległość środka okręgu (x1,3) lub (x1,-3) od prostej 12x+5y=0. Z tego wyszły mi identyczne wyniki.

Pozdrawiam