pole sześciokąta

[evelajka]

W sześciokącie foremnym o polu S połączono środki kolejnych boków. Obliczyć pole powstałego w ten sposób sześciokąta.

[lukasz1804]

Kąt między sąsiednimi bokami sześciokąta foremnego ma miarę 120 stopni. Łatwo zauważyć, że otrzymany sześciokąt jest również foremny. Niech \(\displaystyle{ b}\) oznacza bok nowego, a \(\displaystyle{ a}\) - bok wyjściowego sześciokąta.
Z twierdzenia kosinusów mamy \(\displaystyle{ b^2=(\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2-2\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{2}\cos 120^{o}=\frac{3}{4}a^2}\), skąd pole P nowego sześciokąta wynosi \(\displaystyle{ P=6\cdot\frac{b^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{4}\cdot 6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{4}S}\).

[cienkibolek]

hm a ja to zrobiłem inaczej

\(\displaystyle{ S= 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3} }{4} \\}\)
stąd
\(\displaystyle{ a^{2}= \frac{2S }{3 \sqrt{3} } \\}\)

różnica między dużym sześciokątem a małym to suma pól 6 trójkątów równoramiennych
pole jednego trójkąta to:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} ab\sin\alpha\\
P=\frac{1}{2} \cdot ( \frac{1}{2} a)^{2} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} \\
P= \frac{a^{2} \sqrt{3} }{16} \\}\)
więc pole sześciu trójkątów to będzie:
\(\displaystyle{ P= 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3} }{16} \\}\)
pole małego sześciokąta:
\(\displaystyle{ P=S-6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3} }{16}\\
P=S-6 \cdot \frac{\frac{2S }{3 \sqrt{3} } \sqrt{3} }{16}\\
P=S- \frac{12}{48} S\\
P= \frac{3}{4} S\\}\)