Pytanie dotyczące istniejącego rozwiązania

[czeslaw]

Spędziłem przy tym zadaniu ładnych kilka dni, rozkminiając dlaczego tak. Jest raczej bardzo proste, ale zastanawia mnie pewien element rozwiązania.
Ponieważ nauczony poprzednimi doświadczeniami, najpierw wklepałem początek treści do wyszukiwarki i znalazłem, to przekleję tylko treść zadania, a do sposobu rozwiązania podam linka:

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dane są długości boków: \(\displaystyle{ |AC| = 9}\), \(\displaystyle{ |BC|=7}\). Wiadomo też, że miara kąta \(\displaystyle{ \measuredangle{ABC}}\) jest dwa razy większa od miary kąta \(\displaystyle{ \measuredangle{BAC}}\) . Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie jest tutaj:


Teraz mój problem. Nie rozumiem, dlaczego odrzucamy jedno z rozwiązań równania kwadratowego (wychodzi tam po drodze, że \(\displaystyle{ |AB|=7}\)) z twierdzenia cosinusów. Jest to oczywiście niemożliwe, bo musiałby być to trójkąt równoramienny, czyli kąty przy podstawach musiałby mieć równe, a skoro przeciwległy kąt ma miarę dwukrotnie większą, to jest to trójkąt prostokątny równoramienny, a taki bankowo nie jest, gdyż jego boki nie spełniają twierdzenia Pitagorasa, a cosinus tego mniejszego kata już wcześniej wyszedł \(\displaystyle{ \frac{9}{14}}\). Ale od paru dni zachodzę w głowę, dlaczego odrzucamy ten jeden wynik. Tylko dlatego, że widać jego nieprawidłowość? I z czego wynika to, że wychodzi z rachunków co innego niż jest w rzeczywistości? Wiadomo, że taki trójkąt geometrycznie istnieje tylko jeden. Ale algebraicznie widzimy co innego - otrzymujemy trójkąt, który nie ma prawa istnieć. Ale na jakiej podstawie odrzucamy ten wynik? Wydaje mi się, że to takie dopasowanie odpowiedzi do rzeczywistości, jakoś mnie nie przekonuje.

Tak oto z prostego zadania można zrobić zawiły problem, który obala któreś z podstawowych twierdzeń planimetrii. Proszę o wyjaśnienie i przepraszam za ten bełkot.

[Sherlock]

Postaram się wyjaśnić po mojemu, może ktoś kompetentniejszy uzupełni to bądź poprawi

Na początku w zadania mamy dane trzy informacje:
1) \(\displaystyle{ |AC|=9}\)
2) \(\displaystyle{ |BC|=7}\)
3) \(\displaystyle{ \sphericalangle ABC=2 \sphericalangle BAC}\)

W pierwszej części rozwiązania wszystkie trzy powyższe informacje wykorzystujemy w tw. sinusów i otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{9}{14}}\). Ponieważ wyliczony cosinus jest dodatni to nasz kąt alfa należy do pierwszej ćwiartki (dodatni jest też w czwartej ale w zadaniu mamy trójkąt), ten kąt to około \(\displaystyle{ 50^0}\). Zatem drugi kąt będzie miał miarę około \(\displaystyle{ 100^0}\) a trzeci około \(\displaystyle{ 30^0}\). Jak pewnie zauważasz na podstawie tych wszystkich informacji (długości dwóch boków oraz miary wszystkich kątów) możemy stworzyć tylko jeden trójkąt - istnieje zatem tylko jedna wartość boku c.

W drugiej części rozwiązania z zostało wykorzystane tw. cosinusów ale w nim wykorzystano inne informacje tzn.
1) \(\displaystyle{ |AC|=9}\)
2) \(\displaystyle{ |BC|=7}\)
3) \(\displaystyle{ cosBAC= \frac{9}{14}}\)
tutaj już "znikła" informacja, że w trójkącie ABC jeden z kątów jest dwa razy większy od drugiego. my jednak o tym pamiętamy. Twierdzenie cosinusów da nam dwa rozwiązania - dwie możliwości gdy w trójkącie mamy \(\displaystyle{ |AC|=9}\), \(\displaystyle{ |BC|=7}\) i kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC}\) o mierze około \(\displaystyle{ 50^0}\)


I w tym miejscu bierzemy pod uwagę nasz warunek z części pierwszej - jeden z kątów jest dwa razy większy od drugiego. Ponieważ już wiemy, że istnieje (przy danych z pierwszej części) tylko jeden taki trójkąt, musimy go wyłuskać z rozwiązań z części drugiej. W tym zadaniu problem jest niewielki - zauważamy, że dla c=7 mamy równoramienny i to prawda tzn. mam trójkąt równoramienny o bokach 7,7 i 9 oraz kątach około 50, 50 i 80 stopni ale my dorzucamy warunek z pierwszej części i dochodzimy do sprzeczności zatem rozwiązaniem jest drugie c. Dla pewności można policzyć cosinus kąta ABC i sprawdzić czy \(\displaystyle{ cosABC=cos2BAC}\) (ten sposób trzeba by wykorzystać gdyby nie szło tak łatwo wykluczyć jednego rozwiązania jak w tym zadaniu).

Abstrahując od rozwiązania podanego w możesz policzyć długość c bez zabawy z tw. cosinusów ale korzystając ze wzorów redukcyjnych.
Trzeci kąt ma miarę \(\displaystyle{ 180^0-3\alpha}\).
\(\displaystyle{ sin(180^0-3\alpha)=sin3\alpha=sin\alpha(3-4sin^2\alpha)}\) (wzór na \(\displaystyle{ sin3\alpha}\) możesz wyprowadzić z \(\displaystyle{ sin(2\alpha+\alpha)}\))

\(\displaystyle{ sin\alpha}\) policzysz z jedynki trygonometrycznej wykorzystując \(\displaystyle{ cos\alpha}\), bierzemy dodatni sinus (pierwsza ćwiartka).

Teraz z tw. sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{7}{sin\alpha}= \frac{c}{sin3\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \frac{7}{sin\alpha}= \frac{c}{sin\alpha(3-4sin^2\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ c=7(3-4sin^2\alpha)}\)
i otrzymujemy \(\displaystyle{ c= \frac{32}{7}}\) już bez żadnych wątpliwości

[czeslaw]

A to można być jeszcze kompetentniejszym? Nie mam żadnych wątpliwości, zrozumiałem wszystko dokładnie. Jestem dozgonnie wdzięczny, dziękuję !