Cztery zadania z planimetrii.

sigma123 · Post autor: **sigma123** » 19 mar 2006, o 12:46

Prosze o kazda pomoc

Zad.1. W trapezie KLMN punkt P jest punktem przeciecia przekatnych trapezu. Oblicz dlugosc podstawy KL, majac dane: MN=3, MP=2, PK=5.

Zad.2. Podstawy trapezu maja dlugosc a=6 i b=2, a wysokosc h=4. Obliocz odleglosc punktu przeciecia przekatnych trapoezu od jego podstaw.

Zad.3. W trapezie rownoramiennym ABCD krotsza podsatwa CD ma dlugosc 4. Wysokosc DE przecina przekatna AC w punkcie M takim, ze MC:AM=2:3. Oblicz dlugosc drugiej podstawy.

Zad.4. W trojkacie ABC bok BC jest dwa razy dluzszy od boku AC, zas bok AB ma dlugosc a. Punkt K nalezy do boku BC, przy czym CK:KB=1:3. Znalezc dlugosc AK.

Zad.5. Podstawa trojkata rownoramiennego ma dlugosc 8, a wysokosc poprrowadzona z wierzcholka = 9. Jaka dlugosc ma srodkowa poprowadzona na ramie trojkata?

Bede niezwykle wdzieczny za kazda wskazowke, jesli chodzi o powyzsze zadania
Pozdrowienia

florek177 · Post autor: **florek177** » 19 mar 2006, o 17:21

zad. 1.
Gdzie leży punkt H ??

zad. 2.
Odległości punktu P od podstaw, są jednocześnie wysokościami \(\displaystyle{ x\}\) i \(\displaystyle{ (4-x)\}\) trójkątów o polach \(\displaystyle{ S_{1}\:\}\) i \(\displaystyle{ S_{2}\:\}\)
Pola pozostałych trójkątów oznaczamy: \(\displaystyle{ S_{3}\:\}\) i \(\displaystyle{ S_{4}\:\}\).
Otrzymamy:\(\displaystyle{ S = S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}\).
Trójkąty ABC i ABD mają równe pola, bo mają wspólną podstawę AB i równe wysokości, więc:
\(\displaystyle{ S_{1}+S_{4}=S_{1}+S_{3}\:\}\) z czego wynika : \(\displaystyle{ S_{3}=S_{4}}\).
Trójkąty o polach \(\displaystyle{ S_{1}\:\}\) i \(\displaystyle{ S_{4}\:\}\) mają wspólną wysokość i podstawy AP, PC.
Trójkąty o polach \(\displaystyle{ S_{2}\:\}\) i \(\displaystyle{ S_{3}\:\}\) mają też wspólną wysokość i podstawy AP, PC. Zatem
\(\displaystyle{ S_{1}:S_{4}=AP:PC=S_{3}:S_{2}\}\) z czego wynika, że \(\displaystyle{ S_{1}{\cdot}S_{2}=S_{3}{\cdot}S_{4}}\).
Więc: \(\displaystyle{ S=(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}})^{2}= 16}\)
Po podstawieniu mamy: \(\displaystyle{ \sqrt{3{\cdot}x}+sqrt{4-x}=4\:\}\); \(\displaystyle{ x=3}\)

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 19 mar 2006, o 17:59

Zad.3

Stosując twierdzenia Talesa do trójkąta AFC wyznaczymy |AE|,
bo |EF|=|DC|. A |AE|=|FB| zatem \(\displaystyle{ |AB|\,=\,9 \frac{1}{3}}\)

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 19 mar 2006, o 19:42

4)

Oznaczmy \(\displaystyle{ |AC| = x}\), wtedy 3|CK|=|KB| = frac{3}{2}x[/latex].

Oznaczmy \(\displaystyle{ |AK| = \phi}\), oraz \(\displaystyle{ \angle CKA = }\), wtedy \(\displaystyle{ \angle AKB = \pi - }\).

Z twierdzenia cosinusów mamy:

\(\displaystyle{ \{ x^2 = \phi^2 + \frac{1}{4}x^2 - \phi x\cos\alpha \\ a^2 = \phi^2 + \frac{9}{4}x^2 - 3\phi x\cos(\pi-\alpha) = \phi^2 + \frac{9}{4}x^2 + 3\phi x\cos\alpha}\), dalej sobie poradzisz.

5)

Skorzystaj z tego, ze wysokosc opuszczona na podstawe tego trojkata jest zarazem jego srodkowa oraz z tego, ze srodkowe dziela sie w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\).

sigma123 · Post autor: **sigma123** » 20 mar 2006, o 06:02

Dziękuję Wam bardzo

:)

[ Dodano: Pon Mar 20, 2006 7:03 am ]

florek177 pisze:zad. 1.
Gdzie leży punkt H ??

Punkt K, sorry...

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 20 mar 2006, o 19:29

Zastanow sie nad trojkatami \(\displaystyle{ \Delta PMN}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta PKL}\), zauwaz, ze sa one podobne Teraz zastanow sie dlaczego. Poradzisz sobie.

Loku · Post autor: **Loku** » 20 paź 2010, o 21:07

no właśnie, dlaczego? Stoję przed tym samym zadaniem, wiem, że są podobne, ale nie mogę znaleźć cechy podobieństwa.