promień okręgu wpisanego w trójkąt

[Uzo]

Jak obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o danym polu P i kącie α leżącym między ramionami tego trójkąta.


Ja wiem ,ze raczej pasowałoby skorzystać z wzoru P=r*p , tylko nie za bardzo ,wiem jak potem te boki wyliczyć

[Tomasz Rużycki]

Ze wzoru \(\displaystyle{ 2P=ab\sin\alpha}\) etc.

[sir_matin]

oj chyba \(\displaystyle{ 2P=b^2sin\alpha}\) lub tez \(\displaystyle{ 2P=abcos\frac{\alpha}{2}}\)
zakladam ze a to dlugosc podstawa a b to dlugosc ramienia...

[Tomasz Rużycki]

Chodzilo mi o dowolny trojkat, ktorego dwoma bokami sa \(\displaystyle{ a,b}\), a kat miedzy nimi to \(\displaystyle{ \alpha}\).

[sir_matin]

oj wybacz, zagapilem sie na tresc zadania, oczywiscie podales wzor ogolny sorki

[Uzo]

Nadal ogólnie nie za bardzo kojarze to zadanie ,może mógłby to ktoś rozpisać ??

[Tomasz Rużycki]

Wstawiasz do podanych wzorow, dostajesz dlugosc boku w zaleznosci od \(\displaystyle{ \alpha}\) i pola.

Teraz z f-cji trygonometrycznych wyznaczasz dlugosc podstawy, po czym korzystasz z tego, ze \(\displaystyle{ P=pr}\), gdzie p to polowa obwodu, a r -szukany promien.

[Uzo]

Nie wiem ... Niby proste a nie za bardzo mi sie udaje to wszystko połączyć

[Tomasz Rużycki]

Niech \(\displaystyle{ b}\) - ramie, \(\displaystyle{ a}\) - podstawa.

Mamy:

\(\displaystyle{ 2P=b^2\sin\alpha}\), wiec

\(\displaystyle{ b=\sqrt{\frac{2P}{\sin\alpha}}}\).

Z twierdzenia sinusow mamy:

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\cos\frac{\alpha}{2}}}\), czyli

\(\displaystyle{ a=2b\sin\frac{\alpha}{2}}\).


Z drugiej strony \(\displaystyle{ 2P=(2b+a)r}\), wiec

\(\displaystyle{ r=\frac{2P}{2b+a}}\), wystarczy, ze wstawisz.

[Uzo]

juz chyba wszystko jasne serdeczne dzieki