Trapez prostokatny opisany

R37 · Post autor: **R37** » 25 maja 2009, o 23:13

Na okregu opisano trapez prostokatny. Odleglosci srodka okregu od koncow dluzszego ramienia wynosza 3 i 7 cm. Jakie jest pole trapezu?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 26 maja 2009, o 17:05

Oznaczmy \(\displaystyle{ a,b}\) -podstawy trapezu, \(\displaystyle{ c}\) - ramię nieprostopadłe do podstaw, \(\displaystyle{ r}\) - promień okręgu wpisanego w trapez.
Łatwo zauważamy najpierw, że kąt między odcinkami 3cm i 7cm w trójkącie o bokach 3, 7, c jest kątem prostym. Wynika to bowiem z twierdzenia o stycznych do okręgu poprowadzonych z punktu leżącego na zewnątrz tego okręgu.
Wówczas z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ c=\sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{58}}\).
Co więcej, r jest wysokością w rozważanym trójkącie prostokątnym poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego. Stąd i ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ \frac{3\cdot 7}{2}=\frac{cr}{2}}\), skąd \(\displaystyle{ cr=21}\) i wobec tego \(\displaystyle{ r^2=\frac{21^2}{c^2}=\frac{441}{58}}\).
Wreszcie z twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt wypukły mamy \(\displaystyle{ a+b=2r+c}\), gdyż prostopadłe do podstaw ramię trapezu ma długość równą średnicy okręgu wpisanego w ten trapez.
Stąd i ze wzoru na pole trapezu uzyskujemy ostatecznie \(\displaystyle{ P=\frac{a+b}{2}\cdot 2r=r(c+2r)=cr+2r^2=21+\frac{441}{29}=36\frac{6}{29}}\).

1608 · Post autor: **1608** » 4 paź 2012, o 19:59

Nie rozumiem dlaczego na podstawie tego twierdzenia możemy stwierdzić że ten trójkąt jest prostokątny. Mógłby mi ktoś to jakoś wytłumaczyć ?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 4 paź 2012, o 20:20

Zauważ takie zależności:

1. Suma kątów w trapezie przy dłuższym ramieniu wynosi \(\displaystyle{ 180}\) stopni
2. Odcinki łączące środek okręgu z końcami dłuższego ramienia dzielą te kąty na połowy.
3. Z poprzednich punktów wynika, że suma kątów w trójkącie 3,7,c leżących przy boku c wynosi \(\displaystyle{ 90}\) stopni.

1608 · Post autor: **1608** » 4 paź 2012, o 20:25

a z czego wynika że "2.Odcinki łączące środek okręgu z końcami dłuższego ramienia dzielą te kąty na połowy" ?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 4 paź 2012, o 20:45

Jeden koniec dłuższego ramienia to punkt na zewnątrz okręgu z którego poprowadzone są dwie styczne do tego okręgu (krótsza podstawa i dłuższe ramię). Natomiast odcinek o długości 3, to odcinek łączący punkt z którego poprowadzono te styczne z środkiem okręgu (analogicznie jest dla drugiego kąta).

Zobacz tutaj na własności stycznych do okręgu. Czy widzisz dlaczego AS dzieli kąt A w trójkącie ABC na połowy?