Pole równoległoboku, kąty

[kamilka257]

To zadanie wiem na oko jak rozwiązać, ale nie umiem tego udowodnić ;P

Dłuższy bok równoległoboku ma długość 6 i tworzy z przekątną kąt o mierze 30 stopni. Wyznacz miary kątów równoległoboku, wiedząc, że jego pole wynosi \(\displaystyle{ 18\sqrt{3}}\).

No to \(\displaystyle{ P=a\cdot h\Rightarrow h=3\sqrt{3}}\)

czyli (w stopniach)

\(\displaystyle{ 360=30+90+30+90+2\cdot\alpha+2\cdot \beta}\)

czyli \(\displaystyle{ 60=\alpha+ \beta}\)

i widać, ze \(\displaystyle{ \beta=30}\) i \(\displaystyle{ \alpfa=30}\) ale jak to udowodnić?

[$OPRANO]

narysuj rownoległobok ABCD i sposc z wierzchołka D wysokośc i nazwij DE = h

odcinek AE nazwij x czyli AE=x

jezeli trójkat AED dorysujesz na koncu rownoległoboku to otrzymasz trapez prostokąty AFCD
o jedne podstawie 6 a drugiej 6+ x i wysoksci 3\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

ze wzory na pole trojkata ABC P 0,5 sin\(\displaystyle{ \alpha}\) *6*d

d = przekatna rownoległoboku i naszego trapezu
otrzymasz d=6\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)
teraz w twirdzenie pitagorasa otrzymasz ze 6+x=9
czyli x=3
teraz z trojkata AED gdzie kat DAE = 30 + \(\displaystyle{ \alpha}\) a kat EDA= beta

obliczasz dlugosc DA= BC = 6
z tw pitagorasa
i na koniec korzystasz z twierdzenai sinusów dla trójkata AED
\(\displaystyle{ \frac{6}{sin \alpha }}\) = \(\displaystyle{ \frac{3}{sin beta}}\)

Z tego otrzymujesz sin beta =0,5 stopni czyli beta= 30
a ponieweaz alfa + beta = 60
wiec alfa 30

zrób odpowiedni rysunek i bedzie dobrze
mam nadzieje ze pomogłem

[kardas11]

Witam.

Wiem, że jest to dość potężne odkopanie tematu, ale wole napisać tutaj niż zakładać drugi taki sam.
Czy byłby ktoś w stanie wyjaśnić mi to zadanie bardziej łopatologicznie? Chyba jestem za głupi na powyższe rozwiązanie...
Mam wyznaczoną wysokość, ale później już się gubię. Może jakiś rysunek?
Ja to narysowałem, ale nawet nie wiem którą przekątną zaznaczyć, jak dokładnie wyszła długość przekątnej z tych obliczeń, itp.

Za jakąkolwiek pomoc z góry dzięki.