Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o prmieniu R

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
patkaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 24 maja 2009, o 14:59
Płeć: Kobieta
Podziękował: 6 razy

Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o prmieniu R

Post autor: patkaa »

Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o promieniu R. Udowodnij że dla każdego punktu leżącgo na tym okręgu prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2=8R^2}\)
Ostatnio zmieniony 24 maja 2009, o 17:08 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Zamykaj wyrażenia matematyczne w klamry [latex][/latex].
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o prmieniu R

Post autor: anna_ »

Nie powinno być czasem \(\displaystyle{ = 12R^2}\)
patkaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 24 maja 2009, o 14:59
Płeć: Kobieta
Podziękował: 6 razy

Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o prmieniu R

Post autor: patkaa »

W treści mam podane 8R^2
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o prmieniu R

Post autor: anna_ »

Pomyłka to w przypadku jak okrąg jest wpisany w kwadrat.

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/56945e7c87a/


\(\displaystyle{ a=R \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ |PA|^2=x^2+(a-y)^2\\
|PB|^2=(x+a)^2+(a-y)^2\\
|PC|^2=(x+a)^2+y^2\\
|PD|^2=x^2+y^2\\}\)


Z Pitagorasa dla trójkąta POG
\(\displaystyle{ (0,5a-y)^2+(x+0,5a)^2=R^2}\)


\(\displaystyle{ |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2=4(x^2+ax+y^2-ay+a^2)=\
4[(x+0,5a)^2+(0,5a-y)^2+0,5a^2]=4[R^2+0,5 cdot(R sqrt{2})^2 =4 cdot 2R^2=8R^2}\)
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o prmieniu R

Post autor: anna_ »

II sposób:
Trójkąt \(\displaystyle{ APC}\) jest trójkątem prostokątnym.

\(\displaystyle{ |\angle APC|=90^o}\) - kąt oparty na średnicy \(\displaystyle{ AC}\)

\(\displaystyle{ |PA|^2+|PC|^2=|AC|^2}\)

\(\displaystyle{ |PA|^2+|PC|^2=(2R)^2}\)

\(\displaystyle{ |PA|^2+|PC|^2=4R^2}\)
-----------------------------
Trójkąt BPD jest trójkątem prostokątnym.

\(\displaystyle{ |\angle BPD|=90^o}\) - kąt oparty na średnicy BD

\(\displaystyle{ |PB|^2+|PD|^2=|BD|^2}\)

\(\displaystyle{ |PB|^2+|PD|^2=(2R)^2}\)

\(\displaystyle{ |PB|^2+|PD|^2=4R^2}\)
-----------------------------
Dodajemy stronami
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PC|^2+|PB|^2+|PD|^2=4R^2+4R^2}\)

\(\displaystyle{ |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2=8R^2}\)
Załączniki
12959770.png
Sabriela
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 6 lut 2017, o 16:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o prmieniu R

Post autor: Sabriela »

Witam serdecznie czy ktoś mógłby to dla mnie obliczyć? Przepraszam za jakość obrazka
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o prmieniu R

Post autor: anna_ »

Podaj treść zadania i załóż nowy temat, bo z tego rysunku nie można się w niczym połapać.
ODPOWIEDZ