Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o promieniu R. Udowodnij że dla każdego punktu leżącgo na tym okręgu prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2=8R^2}\)
Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o prmieniu R
-
- Użytkownik
- Posty: 16323
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3245 razy
Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o prmieniu R
Pomyłka to w przypadku jak okrąg jest wpisany w kwadrat.
\(\displaystyle{ a=R \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2=x^2+(a-y)^2\\
|PB|^2=(x+a)^2+(a-y)^2\\
|PC|^2=(x+a)^2+y^2\\
|PD|^2=x^2+y^2\\}\)
Z Pitagorasa dla trójkąta POG
\(\displaystyle{ (0,5a-y)^2+(x+0,5a)^2=R^2}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2=4(x^2+ax+y^2-ay+a^2)=\
4[(x+0,5a)^2+(0,5a-y)^2+0,5a^2]=4[R^2+0,5 cdot(R sqrt{2})^2 =4 cdot 2R^2=8R^2}\)
Kod: Zaznacz cały
http://wstaw.org/h/56945e7c87a/
\(\displaystyle{ a=R \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2=x^2+(a-y)^2\\
|PB|^2=(x+a)^2+(a-y)^2\\
|PC|^2=(x+a)^2+y^2\\
|PD|^2=x^2+y^2\\}\)
Z Pitagorasa dla trójkąta POG
\(\displaystyle{ (0,5a-y)^2+(x+0,5a)^2=R^2}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2=4(x^2+ax+y^2-ay+a^2)=\
4[(x+0,5a)^2+(0,5a-y)^2+0,5a^2]=4[R^2+0,5 cdot(R sqrt{2})^2 =4 cdot 2R^2=8R^2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16323
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3245 razy
Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o prmieniu R
II sposób:
Trójkąt \(\displaystyle{ APC}\) jest trójkątem prostokątnym.
\(\displaystyle{ |\angle APC|=90^o}\) - kąt oparty na średnicy \(\displaystyle{ AC}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PC|^2=|AC|^2}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PC|^2=(2R)^2}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PC|^2=4R^2}\)
-----------------------------
Trójkąt BPD jest trójkątem prostokątnym.
\(\displaystyle{ |\angle BPD|=90^o}\) - kąt oparty na średnicy BD
\(\displaystyle{ |PB|^2+|PD|^2=|BD|^2}\)
\(\displaystyle{ |PB|^2+|PD|^2=(2R)^2}\)
\(\displaystyle{ |PB|^2+|PD|^2=4R^2}\)
-----------------------------
Dodajemy stronami
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PC|^2+|PB|^2+|PD|^2=4R^2+4R^2}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2=8R^2}\)
Trójkąt \(\displaystyle{ APC}\) jest trójkątem prostokątnym.
\(\displaystyle{ |\angle APC|=90^o}\) - kąt oparty na średnicy \(\displaystyle{ AC}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PC|^2=|AC|^2}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PC|^2=(2R)^2}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PC|^2=4R^2}\)
-----------------------------
Trójkąt BPD jest trójkątem prostokątnym.
\(\displaystyle{ |\angle BPD|=90^o}\) - kąt oparty na średnicy BD
\(\displaystyle{ |PB|^2+|PD|^2=|BD|^2}\)
\(\displaystyle{ |PB|^2+|PD|^2=(2R)^2}\)
\(\displaystyle{ |PB|^2+|PD|^2=4R^2}\)
-----------------------------
Dodajemy stronami
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PC|^2+|PB|^2+|PD|^2=4R^2+4R^2}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2=8R^2}\)
Kwadrat ABCD wpisano w okrąg o prmieniu R
Witam serdecznie czy ktoś mógłby to dla mnie obliczyć? Przepraszam za jakość obrazka