Deltoid wpisany w okrąg. Pole.

[kamilka257]

Kolejne zadanie dotyczy deltoidu:

W okrąg o promieniu r=1 wpisano deltoid o polu P=1. Wyznacz miary kątów wewnętrznych deltoidu.

Wiem, że pole deltoidu to \(\displaystyle{ P=\frac{p \cdot q}{2}}\) (p,q - przekątne)

Skoro da się opisać okrąg na tym czworokącie, to suma dwóch przeciwległych kątów równa się sumie dwóch pozostałych kątów i równa się 180 stopni. Z tego wynika, że \(\displaystyle{ \alpha=90^0}\) (za \(\displaystyle{ \alpha}\) dałam te dwa identyczne kąty) a więc z Pitagorasa p=2 i q=1=r.

Wiem, że suma dwóch pozostałych kątów to 180 stopni, ale nie mam pojęcia, jak dojść ile każdy z nich ma. Czy ktoś pomoże?

[JankoS]

Można tak.
Oznaczam x, y odcinli na jakie p dzieli q. Z układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=2 \\ x \cdot y=\frac{1}{4} \end{cases}}\)
wyznaczam długość x oraz długość y, a następnie z trójkątów prostokatnych i z twierdzenia Pitagorasa wyznaczam długości jednego boków deltoidu i dalej jakąś funkcję połowy szukanego kąta (albo z twierdzenia cosinusów cosinus całego).
Np.:

\(\displaystyle{ y=\frac{2+ \sqrt{3}}{2}, \ y^2+\frac{1}{4}=b^2, \ \frac{1}{4}=2b^2-2b^2 \cdot cos\beta.}\)
Powyżej zastosowano twierdzenie cosinusów.

[kamilka257]

dziękuję bardzo za pomoc.

nie mogę tylko zrozumieć jednej rzeczy, czemu x*y= 1/4 ? to chyba nie są wzory Vieta, bo to nie wielomian... nie umiem matematyki

[JankoS]

nie mogę tylko zrozumieć jednej rzeczy, czemu x*y= 1/4 ?

Jest to łatwe(?) do udowodnienia twierdzenie:
W trójkącie prostokątnym długość wysokości opuszczonej z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną długości odcinków na jakie dzieli ona przeciwprostokątną \(\displaystyle{ h= \sqrt{x \cdot y}.}\)