Trapez i prosta przechodząca przez boki nierównoległe.

[Kamil_dobry]

W trapezie ABCD o podstawach a i b, poprowadzono prostą równoległą do podstaw i przechodzącą przez:
a) środek K boku BC. Obliczyć długość odcinka tej prostej o końcach leżących na bokach nierównoległych
b) punkt przecięcia przekątnych i przecinającą boki nierównoległe trapezu w punktach E i F. Obliczyć długość odcnika EF.

[Adifek]

a) To jest fajne twierdzenie. Dodajmy jedynie, że prosta ta przetnie przez bok AD w punkcie L, żebyś to sobie mógł ładnie wyobrazić. h to wysokość trapezu

\(\displaystyle{ \frac{|AB|+|KL|}{2} \cdot \frac{h}{2} + \frac{|KL|+|CD|}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{|AB|+|CD|}{2} \cdot h}\)
I wychodzi:
\(\displaystyle{ |KL|= \frac{|AB|+|CD|}{2}}\)-- 23 maja 2009, 15:25 --b) Pokombinowałem chwilę i wymyśliłem
Wyobraź sobie, że punkt przecięcia przekątnych dzieli wysokość h na 2 odcinki: x i y. Z mojego lenistwa i dla uproszczenia zamienię oznaczenia: |AB|=a, |CD|=b, |EF|=c
Zatem:
\(\displaystyle{ h=x+y}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+c}{2} \cdot x+ \frac{b+c}{2} \cdot y= \frac{a+b}{2} \cdot (x+y)}\)
Mnożymy przez 2, wymnażamy nawiasy, grupujemy sobie i wychodzi:
\(\displaystyle{ cx+cy=ax-ax+by-by+ay+bx}\)
\(\displaystyle{ c(x+y)=ay+bx}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{ay+bx}{x+y}}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{ay+bx}{h}}\)

[Kamil_dobry]

Wielkie, dzięki, jakoś nie wpadłem na pomysł porównywania pól ;]