Punkty ABC, gdzie:
A=(2,2)
B=(4,4)
C=(3,7),
są kolejnymi wierzchołkami trapezu ABCD.
Pytanie A:
Oblicz współrzędne punktu D, wiedząc, że prosta, w której zawiera się środkowa tego układu, przecina bok AD w puncie E=(1,3)
Wszystko zaznaczyłem na układzie x i y. Teraz jak obliczyć D?
Dane są wierzchołki trapezu..
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Dane są wierzchołki trapezu..
myslę, że powinno to być tak (ale nie jestem pewna):
\(\displaystyle{ |CE| = \sqrt{(3-1)^2+(7-3)^2}= \sqrt{20}=2 \sqrt{5}}\)
jeżeli punkt E zawiera sie w srodkowej to znaczy że \(\displaystyle{ |CE| = |ED|= 2 \sqrt{5}}\)
wyznaczamy prostą, która przechodzi zarówno przez punkt C i punkt E
\(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\)
\(\displaystyle{ f(3)=7 \Rightarrow 3a+b=7}\)
\(\displaystyle{ f(1)=3 \Rightarrow a+b=3}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3a+b=7 \\ a+b=3 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ b=1 \end{cases}}\)
czyli prosta ma postać \(\displaystyle{ y=2x+1}\)
\(\displaystyle{ |ED|= \sqrt{(x_{E}-x)^2 + (y_{E}-y)^2}}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{5} = \sqrt{(1-x)^2 + (3-y)^2}}\) podnosimy obystronnie do kwadratu a za y wstawiamy równanie prostej
\(\displaystyle{ 20= (1-x)^2 + (3-(2x+1))^2}\)
\(\displaystyle{ 20 = 1-2x+x^2+(2-2x)^2}\)
\(\displaystyle{ 20=1-2x+x^2+4-8x+4x^2}\)
\(\displaystyle{ 5x^2-10x+5=20}\)
\(\displaystyle{ 5x^2-10x-15=0 /:5}\)
\(\displaystyle{ x^2-2x-3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 16}\), \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{2-4}{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{2+4}{2} = 3}\) jak masz narysowany układ to widać że ten wynik nie bedzie spełniać warunku ze środkową
teraz obliczamy wartość funkcji od x=-1
\(\displaystyle{ f(-1)=2 \cdot (-1)+1 = -1}\)
czyli punkt D ma współrzedne (-1, -1)
teraz pozostaje sprawdzić tylko czy przy tych współrzędnych odcinek |ED|=|CE|
pozdrawiam
\(\displaystyle{ |CE| = \sqrt{(3-1)^2+(7-3)^2}= \sqrt{20}=2 \sqrt{5}}\)
jeżeli punkt E zawiera sie w srodkowej to znaczy że \(\displaystyle{ |CE| = |ED|= 2 \sqrt{5}}\)
wyznaczamy prostą, która przechodzi zarówno przez punkt C i punkt E
\(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\)
\(\displaystyle{ f(3)=7 \Rightarrow 3a+b=7}\)
\(\displaystyle{ f(1)=3 \Rightarrow a+b=3}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3a+b=7 \\ a+b=3 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ b=1 \end{cases}}\)
czyli prosta ma postać \(\displaystyle{ y=2x+1}\)
\(\displaystyle{ |ED|= \sqrt{(x_{E}-x)^2 + (y_{E}-y)^2}}\)
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{5} = \sqrt{(1-x)^2 + (3-y)^2}}\) podnosimy obystronnie do kwadratu a za y wstawiamy równanie prostej
\(\displaystyle{ 20= (1-x)^2 + (3-(2x+1))^2}\)
\(\displaystyle{ 20 = 1-2x+x^2+(2-2x)^2}\)
\(\displaystyle{ 20=1-2x+x^2+4-8x+4x^2}\)
\(\displaystyle{ 5x^2-10x+5=20}\)
\(\displaystyle{ 5x^2-10x-15=0 /:5}\)
\(\displaystyle{ x^2-2x-3=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 16}\), \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{2-4}{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{2+4}{2} = 3}\) jak masz narysowany układ to widać że ten wynik nie bedzie spełniać warunku ze środkową
teraz obliczamy wartość funkcji od x=-1
\(\displaystyle{ f(-1)=2 \cdot (-1)+1 = -1}\)
czyli punkt D ma współrzedne (-1, -1)
teraz pozostaje sprawdzić tylko czy przy tych współrzędnych odcinek |ED|=|CE|
pozdrawiam
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
-
Quaerens
- Użytkownik
- Posty: 2489
- Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 439 razy
- Pomógł: 181 razy
Dane są wierzchołki trapezu..
Tak, ale z tym zadaniem dam sobie spokój. Przez tę forum zmieniłem stosunek do matematyki ( lubię ), ale takiego zadania na podstawowej maturze raczej nie dadzą