Ciekawe zadania z 1869 roku

[Mapedd]

1.Wykaż, że

\(\displaystyle{ 12R^2=d_{1}^2+d_{2}^2+d_{3}^2+d^2}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ d_{i} \: dla \: i=1,2,3}\) - odległości środka koła opisanego na trójącie od środków kół dopisanych,

\(\displaystyle{ d}\) - odległość śr. koła opisanego do śr. koła wpisanego w dany trójkąt

2. W koło o promieniu R wpisano trójkąt równoramienny, a podstawie dł. a, wykaż że:

\(\displaystyle{ max(a+h)=R(1+sqrt{5})}\)

(wartość maksymalna sumy a+h)

3. (to jest najlepsze) Punkt jakikolwiek E średnicy AB połączono ze skrajnościami cięciwy równoległej CD, dowieść, że:

\(\displaystyle{ CE^2+DE^2=AE^2+BE^2}\)

orass:


Udowodnij że promienie kół dopisanych do trójkąta o bokach dł. a, b,c wyrazają sie wzorami:

\(\displaystyle{ R_{a}=\frac{S}{p-a} \:\:,\:R_{b}=\frac{S}{p-b}\:\:,\:R_{c}=\frac{S}{p-c}}\)


gdzie: \(\displaystyle{ S}\) - pole trójkąta, \(\displaystyle{ p}\) - połowa obwodu

[półpasiec]

3) niech \(\displaystyle{ A=-1,B=1,C=x+iy,D=-x+iy}\), gdzie \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\)
wtedy \(\displaystyle{ DE^2+CE^2=(b-x)^2+y^2+(b+x)+y^2=2b^2+2(x^2+y^2)=2b^2+2=(b-1)^2+(b+1)^2=AE^2+BE^2}\)
4) to wynika od razu z tego ze \(\displaystyle{ [ABC]=[ABO_a]+[ACO_a]-[BCO_a]}\) i analogicznych

[Mapedd]

4) to wynika od razu z tego ze \(\displaystyle{ [ABC]=[ABO_a]+[ACO_a]-[BCO_a]}\) i analogicznych

a jak policzyc pola \(\displaystyle{ ABO_a i ACO_a}\)? Mogłbyś objaśnić?



edit


ok juz mam


edit#2

jescio tylko numero uno...