Promień okręku opisanego na trójkącie równoramiennym

[kepa416]

Ile wynosi promień okręgu opisanego na równoramiennym trójkącie prostokątnym, którego obwód jest równy : 4 +2√2

[karina133]

Obwód równoramiennego trójkąta prostokątnego wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ Ob=2a+a \sqrt{2}}\). Zatem \(\displaystyle{ 4+2 \sqrt{2}=2a+a \sqrt{2}}\).
Stąd \(\displaystyle{ a=2}\).
A promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym wynosi: \(\displaystyle{ R=\frac{1}{2}c}\), gdzie c to długość przeciwprostokantej. Czyli \(\displaystyle{ R=\frac{1}{2}a \sqrt{2}}\). Tak więc \(\displaystyle{ R=\frac{1}{2}2 \sqrt{2}= \sqrt{2}}\).

[kepa416]

A jeśli obwód będzie równy 4 ? to :

\(\displaystyle{ Ob=2a+a \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ 4=2a+a \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ 4=a(2+ \sqrt{2})/(2+ \sqrt{2})}\)
\(\displaystyle{ \frac{4}{(2+ \sqrt{2})} =a}\)
\(\displaystyle{ a=2(2- \sqrt{2} )}\)

czyli \(\displaystyle{ b = 4 - 2a}\) ?

\(\displaystyle{ b=4-4(2- \sqrt{2} )}\)
\(\displaystyle{ b=4-8+4 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ b=4 \sqrt{2} -4}\)
\(\displaystyle{ R= \frac{1}{2} * 4( \sqrt{2} -1)}\)
\(\displaystyle{ R= 2( \sqrt{2} -1)}\)