Drut o dlugosci 72cm rozcieto na dwa kawalki...

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
polan123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 4 lut 2006, o 23:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Polski
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 2 razy

Drut o dlugosci 72cm rozcieto na dwa kawalki...

Post autor: polan123 »

Drut o dlugosci 72cm rozcieto na dwa kawalki i z kazdego kawalka zbudowano brzeg trojkata rownoramiennego, przy czym stosunek dlugosci ramienia do dlugosci podstawy w jednym trojkacie wynosi 5:8, a w drugim 13:10. Jakie obwody maja te trojkaty, jezeli suma ich pol jest najwieksza z mozliwych?

x - 1kawalek/obwod
y - 2kawalek/obwod

a - ramie 1 trojkata
b - podstawa 1 trojkata
c - ramie 2 trojkata
d - podstawa 2 trojkata

x+y=72 => 2a+2c+b+d=72
\(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) = \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) => 8a=5b
\(\displaystyle{ \frac{13}{10}}\) = \(\displaystyle{ \frac{c}{d}}\) => 10c=13d
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}b*h_{x}}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{2}d*h_{y}}\)

Swoja droga w zadaniu nie bardzo rozumiem co znaczy pojecie "brzeg". Czy tylko ramie/podstawe trojkata czy caly obwod. Wydaje mi sie ze obwod i taka opcje przyjalem przy powyzszych zestawieniach.
%
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 9 cze 2005, o 11:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: się tu wzięłam?
Pomógł: 1 raz

Drut o dlugosci 72cm rozcieto na dwa kawalki...

Post autor: % »

Sytuacja w pierwszym trójkącie wygląda tak:
ramię-5x
podstawa-8x
(stąd wysokość z tw. Pitagorasa h=3x)
pole=1/2*8x*3x=12x^2
obwod=5x+5x+8x=18x
drugi trójkąt:
ramię-13y
podstawa-10y
(h=12y)
pole2=1/2*12y*10y=60y^2
obwód2=36y
przy czym wiadomo,że obwod+obwod2=72(18x+36y=72)
Suma pól (12x^2+60y^2) ma być maksymalna, tzn. pochodna ma się zerować
po podstawieniu za x=4-2y, otrzymuje
f=12(4-2y)^2+60y^2=192-192y+108y^2
f'=-192+216y=0
y=8/9, x=20/9
stąd obwod=18x=40 obwod2=36y=32
pozdr.
ODPOWIEDZ