W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6cm i 8 cm wpisujemy prostokąt w taki sposób,że jeden bok prostokąta jest zawarty w przeciwprostokątnej, a dwa pozostałe wierzchołki należą do przyprostokątnych. Wyznacz wymiary tego prostokąta, którego pole jest największe.
W odpowiedzi mam wzór funkcji kry opisuje pole tego prostokąta; \(\displaystyle{ P(x)=10x- \frac{25}{12} x^{2}}\) .
Mógłby mi ktoś wytłumaczyć skąd się wzięło \(\displaystyle{ \frac{25}{12}}\) ?
prostokąt wpisany w trojkat
-
MistyKu
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 20 mar 2009, o 14:58
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 60 razy
prostokąt wpisany w trojkat
Ja zrobilem inaczej. Oznaczylem sobie boki prostokata jako x i y. I z podobienstwa trojkatow \(\displaystyle{ \frac{8-x}{y} = \frac{8}{6}}\)
\(\displaystyle{ 48-6x=8y => y=6- \frac{3}{4}x}\)
\(\displaystyle{ P(x)= \frac{-3}{4}x ^{2}+6x}\)
\(\displaystyle{ Xw= \frac{-b}{2a}= \frac{-6}{ \frac{-6}{4} }=4}\)
\(\displaystyle{ y=6- \frac{3}{4}*4=3}\)
\(\displaystyle{ 48-6x=8y => y=6- \frac{3}{4}x}\)
\(\displaystyle{ P(x)= \frac{-3}{4}x ^{2}+6x}\)
\(\displaystyle{ Xw= \frac{-b}{2a}= \frac{-6}{ \frac{-6}{4} }=4}\)
\(\displaystyle{ y=6- \frac{3}{4}*4=3}\)
-
lukki_173
- Użytkownik
- Posty: 913
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 218 razy
prostokąt wpisany w trojkat
Trzeba by zrobić dobry rysunek, żeby było widać, skąd się co bierze.
Niech:
x-szerokość prostokąta
y-długość prostokąta
Z podobieństwa trójkątów:
\(\displaystyle{ \frac{6-x}{y} = \frac{6}{8}\\
6y=8(6-x)\\
6y=48-8x\\
y=8- \frac{4}{3}x}\)
\(\displaystyle{ P=x \cdot y=x \cdot (8- \frac{4}{3}x)=- \frac{4}{3}x^2+8x}\)
\(\displaystyle{ p= -\frac{b}{2a}= -\frac{8}{- \frac{8}{3} }=3\\
y=8-\frac{4}{3} \cdot3=4}\)
Prostokąt ma wymiary: 4x3.
Pozdrawiam
Niech:
x-szerokość prostokąta
y-długość prostokąta
Z podobieństwa trójkątów:
\(\displaystyle{ \frac{6-x}{y} = \frac{6}{8}\\
6y=8(6-x)\\
6y=48-8x\\
y=8- \frac{4}{3}x}\)
\(\displaystyle{ P=x \cdot y=x \cdot (8- \frac{4}{3}x)=- \frac{4}{3}x^2+8x}\)
\(\displaystyle{ p= -\frac{b}{2a}= -\frac{8}{- \frac{8}{3} }=3\\
y=8-\frac{4}{3} \cdot3=4}\)
Prostokąt ma wymiary: 4x3.
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 17 maja 2009, o 12:44 przez lukki_173, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Natasha
- Użytkownik
- Posty: 986
- Rejestracja: 9 lis 2008, o 15:08
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 97 razy
- Pomógł: 167 razy
prostokąt wpisany w trojkat
x, y- dł. i krótszy bok prostokąta
obliczamy pole trójkąta i wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną
\(\displaystyle{ h=4,8}\)
z tw Talesa
\(\displaystyle{ \frac{4,8}{10}= \frac{4,8-y}{x}}\)
\(\displaystyle{ 4,8x=48-10y}\)
\(\displaystyle{ x=10- \frac{10}{4,8}y}\)
\(\displaystyle{ x=10-10* \frac{5}{24}y= 10- \frac{25}{12}y}\)
\(\displaystyle{ P=y(10- \frac{5}{12}y)= 10y- \frac{25}{12}y ^{2}}\)
Odwrotnie oznaczyłam boki
z tego liczymy wierzchołek:
\(\displaystyle{ y _{w}= \frac{12}{5}}\)
\(\displaystyle{ x _{w} = 5}\)
obliczamy pole trójkąta i wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną
\(\displaystyle{ h=4,8}\)
z tw Talesa
\(\displaystyle{ \frac{4,8}{10}= \frac{4,8-y}{x}}\)
\(\displaystyle{ 4,8x=48-10y}\)
\(\displaystyle{ x=10- \frac{10}{4,8}y}\)
\(\displaystyle{ x=10-10* \frac{5}{24}y= 10- \frac{25}{12}y}\)
\(\displaystyle{ P=y(10- \frac{5}{12}y)= 10y- \frac{25}{12}y ^{2}}\)
Odwrotnie oznaczyłam boki
z tego liczymy wierzchołek:
\(\displaystyle{ y _{w}= \frac{12}{5}}\)
\(\displaystyle{ x _{w} = 5}\)
-
Natasha
- Użytkownik
- Posty: 986
- Rejestracja: 9 lis 2008, o 15:08
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 97 razy
- Pomógł: 167 razy
prostokąt wpisany w trojkat
Nieprawda, bo zauważcie, że jeden bok prostokąta należy do przeciwprostokątnej, a na Wasze oko boki prostokąta leżą w przyprostokątnych, treść zadania brzmiała inaczej.
m1chal pisze:jeden bok prostokąta jest zawarty w przeciwprostokątnej, a dwa pozostałe wierzchołki należą do przyprostokątnych.