Obwód, gdy znane pole trójkąta.

[agath]

Pole trójkąta o kątach 60 stopni i 30 stopni wynosi 9 pierwiastków z 3 przez 2. Oblicz obwód.

[lina2002]

Przyjmij sobie np. że bok naprzeciwko kąta \(\displaystyle{ 30^{\circ}}\) ma długość \(\displaystyle{ a}\). Wyraź długości pozostałych dwóch boków boków za pomocą \(\displaystyle{ a}\). wyraź również pole trójkąta za pomocą \(\displaystyle{ a}\). Ponieważ pole masz podane, to masz równanie, z którego wyliczasz ile wynosi \(\displaystyle{ a}\).

[agulka1987]

Trójkąt o katach 30 i 60 stopni to trójkąt priostokatny, który jest jednoczesnie połową trójkata równobocznego

Pole trójkata równobocznego \(\displaystyle{ P= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}}\)


Twój trójkat to jego połowa czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} = \frac{9 \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2 \sqrt{3} }{8} = \frac{9 \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ 2a^2 \sqrt{3} = 72 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ a^2 = 36}\)

\(\displaystyle{ a=6}\)


oznaczam boki trójkata prostokatnego

c - przeciwprostokatna =6
x-przyprostokatna równa połowie boku trójkata równobocznego = 3
y - przyprostokatna równa wysokosci trójkata równobocznego = \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3} }{2} = 3 \sqrt{3}}\)


\(\displaystyle{ O=x+y+c = 3+3 \sqrt{3}+6 = 9+3 \sqrt{3} = 3(3+ \sqrt{3})}\)