pole rombu

[edyshka94]

Wyznacz pole rombu o boku długości 2cm wiedząc, że suma długości jego przekątnych wynosi 5cm.

[piotrekgabriel]

Oznaczmy jedną przekątną jako 2x, drugą jako 2y.
Skoro \(\displaystyle{ 2x+2y=5}\), to \(\displaystyle{ y = 2.5 - x}\).

Teraz z pitagorasa:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=4\\ x^{2}+(2.5-x)^{2}=4\\2x^{2}-5x+2.25=0}\)
Z tego wyliczasz pierwiastki, wyjdzie Ci para x,y, będziesz więc miała długości przekątnych.

A jednym z wzorów na pole rombu jest \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot d_{1}\cdot d_{2}}\), gdzie d1,d2 to dlugosci przekątnych

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ a}\) oznacza bok rombu, a \(\displaystyle{ x, y}\) - jego przekątne. Niech ponadto \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie miarą kąta ostrego rombu. Załóżmy, że \(\displaystyle{ x<y}\).
Wtedy z twierdzenia kosinusów wynika, że

\(\displaystyle{ x^2=a^2+a^2-2a^2\cos\alpha}\)

oraz

\(\displaystyle{ y^2=a^2+a^2-2a^2\cos(\pi-\alpha)}\).

Stąd i ze wzoru redukcyjnego \(\displaystyle{ \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ x^2=2a^2-2a^2\cos\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ y^2=2a^2+2a^2\cos\alpha}\). Dodając otrzymane teraz równości stronami otrzymamy \(\displaystyle{ x^2+y^2=4a^2}\).
Zatem mamy \(\displaystyle{ (x+y)^2=(x^2+y^2)+2xy=4a^2+2xy}\). W myśl założenia jest \(\displaystyle{ a=2}\) oraz \(\displaystyle{ x+y=5}\), więc \(\displaystyle{ 5^2=4\cdot 2^2+2xy}\), tj. \(\displaystyle{ xy=\frac{9}{2}}\).
Ze wzoru na pole rombu mamy teraz \(\displaystyle{ P=\frac{xy}{2}=\frac{9}{4}=2,25 cm^2}\).

Pozdrawiam.