Wzór na miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego

[Gość]

Jaki jest wzór na miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego?

[Skrzypu]

n - ilość boków wielkokąta foremnego

Wzór na kąt tego wielokąta:

\(\displaystyle{ \frac{(n-2)\cdot 180^o}{n}}\)

[numa18]

Dlaczego jest n-2 ???Jakoś nie mogę do tego dojść Proszę was o szybka pomoc

[ania444]

Dlaczego? Zobacz:

AU

33yjpjd.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 61250 razy

Każdy wielokąt można podzielić na \(\displaystyle{ n}\) trójkątów. Kąty dookoła punktu \(\displaystyle{ O}\) mają miarę \(\displaystyle{ 360^{o}}\). Suma wszystkich kątów w trójkącie wynosi \(\displaystyle{ 180^{o}}\).
Żeby obliczyć, jaką miarę ma suma kątów wewnętrznych we wszystkich \(\displaystyle{ n}\) trójkątach, należy wykonać działanie \(\displaystyle{ n \cdot 180^{o}}\).

Jeśli chcemy znać jedynie miarę kątów bokach wielokąta, musimy wykonać działanie
\(\displaystyle{ n \cdot 180^{o}-360^{o}=(n-2) \cdot 180^{o}}\)

Jeśli chcesz policzyć miarę jednego kąta w wielokącie foremnym, dzielisz sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta przez liczbę kątów - \(\displaystyle{ \frac{(n-2) \cdot 180^{o}}{n}}\)

PS: Wybacz, za średnią jakość rysunku, nie jestem mistrzynią Painta

[piasek101]

Albo z tego, że każdy n-kąt (n>2) da się podzielić nieprzecinającymi się przekątnymi na \(\displaystyle{ (n-2)}\)
trójkąty.

[piobury]

Warto dodać, że twierdzenie jest prawdziwe nie tylko dla wielokąta foremnego ale też dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\)-kąta (także dla wielokątów niewypukłych).

Dowód dla wielokątów wypukłych idzie dokładnie tak samo jak napisała ania444.

Dla wielokątów niewypukłych to rozumowanie już nie przejdzie, ale możemy to zrobić następująco:

Sposób I
Lemat
W każdym \(\displaystyle{ n}\)-kącie \(\displaystyle{ (n \geq 4)}\) istnieje jego przekątna zawarta w tym \(\displaystyle{ n}\)-kącie.
(Dowód lematu pomijam)

Dowód właściwy:

Dowód będzie indukcyjny.
I krok indukcyjny:
\(\displaystyle{ n=3}\) OK (to, że w trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\) jest dość oczywiste)
II krok indukcyjny:
Weźmy dowolny \(\displaystyle{ n+1}\)-kąt.
Niech \(\displaystyle{ AB}\) będzie przekątną zawartą w \(\displaystyle{ n+1}\)-kącie (istnieje z lematu).
Dzieli ona nasz wielokąt na dwa: \(\displaystyle{ k}\)-kąt oraz \(\displaystyle{ l}\)-kąt.
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ k+l=n+1+2=n+3}\) (ze względu, że kąty przy wierzchołkach A i B liczyliśmy dwa razy)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ k\leq n}\) oraz \(\displaystyle{ l\leq n}\). Zatem możemy zastosować założenie indukcyjne.
Otrzymujemy zatem:
Suma miar kątów w \(\displaystyle{ k}\)-kącie wynosi \(\displaystyle{ (k-2)\cdot 180^{\circ}.}\)
Suma miar kątów w \(\displaystyle{ l}\)-kącie wynosi \(\displaystyle{ (l-2)\cdot 180^{\circ}.}\)

Zatem suma miar kątów wewnętrznych w \(\displaystyle{ n+1}\)-kącie wynosi:
\(\displaystyle{ (k-2)\cdot 180^{\circ} + (l-2)\cdot 180^{\circ} =(k+l-4)\cdot 180^{\circ}=(n+3-4)\cdot 180^{\circ}=(n+1-2)\cdot 180^{\circ}.}\)

Na mocy indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe.

Sposób II
Lemat (Two Ears theorem)
Jeśli \(\displaystyle{ n \geq 4}\) to \(\displaystyle{ n}\)-kąt ma co najmniej 2 ucha (czyli trójkąty utworzone przez 3 kolejne wierzchołki, które zawierają się w tym \(\displaystyle{ n}\)-kącie).
(Dowód lematu pomijam)

Dowód właściwy:

Dowód indukcyjny
I krok indukcyjny:
\(\displaystyle{ n=3}\) OK (jak wyżej)
II krok indukcyjny:
Weźmy dowolny \(\displaystyle{ n+1}\)-kąt. Bierzemy jego ucho (wiemy, że z lematu istnieje). Odcinamy je. Powstaje \(\displaystyle{ n}\)-kąt [UWAGA (Patrz niżej)].
Z założenia indukcyjnego suma miar kątów wewnętrznych tego \(\displaystyle{ n}\)-kąta wynosi \(\displaystyle{ (n-2) \cdot 180^{\circ}}\). Dodajemy \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\) z ucha: \(\displaystyle{ (n-2) \cdot 180^{\circ}+180^{\circ}=(n+1-2) \cdot 180^{\circ}.}\)
co należało dowieść.

UWAGA.
Rozumowanie zawiera pewną lukę, która wymaga komentarza. Otóż w szczególnych przypadkach może powstać nie \(\displaystyle{ n}\)-kąt lecz \(\displaystyle{ n-1}\)-kąt lub \(\displaystyle{ n-2}\)-kąt. Zdarzy się to w sytuacji, gdy rozpatrywane ucho ma tę własność, że jeden (lub oba) z wierzchołków przy podstawie ucha leży na prostej w której zawiera się bok \(\displaystyle{ n+1}\)-kąta mający wspólny koniec z drugim wierzchołkiem przy podstawie ucha.
Nie wpływa to jednak na tezę twierdzenia. (Co prawda stosujemy założenie indukcyjne nie dla \(\displaystyle{ n}\), więc dostajemy inną sumę miar kątów, ale za to dodatkowo musimy dodać kąt(y) półpełny). Wystarczy narysować sobie te dwa przypadki, aby się o tym przekonać.