wyznaczanie pól trójkątów tworzacych trapez

siemo · Post autor: **siemo** » 10 maja 2009, o 09:52

Pole trapezu jest równe P, a stosunek długości jego podstaw wynosi 2, Przekątne dzielą ten trapez na 4 trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkatów.
Proszę o pomoc

arecek · Post autor: **arecek** » 10 maja 2009, o 10:31

Trójkąty przy podstawach są podobne w skali 2:1.
Trójkąty przy ramionach mają identyczne pole.
(Przekątne dzielą się w stosunku 2:1, kąt przy miejscu przecięcia jest taki sam : \(\displaystyle{ \frac{b*2a sin\alpha}{2} = \frac{a*2bsin\alpha}{2}}\))

\(\displaystyle{ \frac{2}{9}P \ \frac{2}{9}P \ \frac{4}{9}P \ \frac{1}{9}P}\)

siemo · Post autor: **siemo** » 10 maja 2009, o 10:35

hmm czy mógłbys mi to tak troszkę jaśniej wytłumaczyc?

arecek · Post autor: **arecek** » 10 maja 2009, o 10:52

Podobieństwo trójkątów przy podstawach (ABS,CDS) wynika z tego że mają takie same kąty, skala z powodu długości podstaw trapezu.
Skoro trójkąty są podobne w skali 2:1 , to stosunek długości ich boków jest taki sam.

Teraz dowodzę że pola ASD i BSC są takie same :
\(\displaystyle{ \frac{a2bsin \sphericalangle (ASD)}{2} = \frac{a2bsin \sphericalangle (BSC)}{2}}\)
\(\displaystyle{ 0 = 0}\)

Podstawy trójkątów ASD i ABS mieszczą się na tej samej prostej , wiec mają identyczną wysokość. To razem z stosunkiem podstaw (2:1) daje podobieństwo pól 2:1.

4CDS = 2ADS = 2BCS = ABS

Lub metoda bardziej obliczeniowa , ale chyba prostsza :
https://www.matematyka.pl/70074.htm