Udowodnij że środki kwadratów

monikap7 · Post autor: **monikap7** » 7 maja 2009, o 21:30

Udowodnij że środki kwadratów zbudowanych na bokach równoległoboku i leżących na zewnątrz tego równoległoboku są wierzchołkami nowego kwadratu

Psycho · Post autor: **Psycho** » 7 maja 2009, o 22:02

Wskazówka: Połącz środki sąsiednich kwadratów ze sobą, oraz środki z wierzchołkami boku równoległoboku, na którym zostały zbudowane.

mcmcjj · Post autor: **mcmcjj** » 20 wrz 2009, o 15:10

Można coś więcej na ten temat ? Też mam z tym problem...

Zordon · Post autor: **Zordon** » 20 wrz 2009, o 15:13

mozna w miarę łatwo wyrachować to na wektorach (iloczyn skalarny itp.) tylko nie wiem czy tu o takie rozwiązanie chodzi

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 20 wrz 2009, o 15:47

1. Środki kwadratów traktować jako wierzchołek trójkąta prostokątnego równoramiennego, w którego skład wchodzą bok i dwie połówki przekątnych kwadratu.
2. Taki trójkąt równoramienny prostokątny ma tę zaletę że jego dwa kąty ostre maja po 45 stopni.
3. Oznaczmy długości boków równoległoboku jako a i b
4. Łatwo wyznaczyć długości boków trójkątów równoramiennych z pkt 1. \(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt{2}}}\) i \(\displaystyle{ \frac{b}{ \sqrt{2}}}\)
5. Oznaczmy kąt ostry równoległoboku jako \(\displaystyle{ \alpha}\)
6. Ponieważ z cechy równoległoboku wynika że ma 2 pary identycznych dobudowanych trójkątów równoramiennych wystarczy zająć się parą sąsiednich a reszta analogicznie
7. Teraz czeka nas zabawa z kątami i długościami:
7a) pierwszy trójkąt to wierzchołek przy kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\) i dwa sąsiadujące środki kwadratów, dwa boki znamy (pkt. 4) ostatni bok z tw. cosinusów
7a) drugi trójkąt to wierzchołek przy kącie rozwartym (\(\displaystyle{ 180 - \alpha}\)) i też dwa sąsiadujące środki kwadratów o znanych bokach (pkt. 4) również tu szukamy z tw. cosinusów brakujący bok
8. Chodzi o to by pokazać ze długości znalezione w 7a i 7b są takie same.
9. No i zabawa z kątami by pokazać że tworzą one kąt prosty, albo wykazać że wszystkie są tej samej miary a ponieważ to czworokąt to 360stopni : 4 = 90