Miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego

[RAFAELLO14]

Dwusieczna kąta CAB w trójkącie prostokątnym ABC przecina przyprostokatną CB w punkcie D. Środkowe trójkąta przecinają się w punkcie O. Odcinek OD jest prostopadły do przyprostokątnej CB. Oblicz miary kątów ostrych tego trójkąta.

[anna_]

Opcja szukaj:
34311.htm

[RAFAELLO14]

Widzialem to rozwiazanie ale nic z niego nie wiem. Przeciez kat przy wierzcholku C ma byc prosty, a w tamtym rozwiazaniu pisze "katBCA=\(\displaystyle{ 2\beta}\)" a jeszcze dalej ze "\(\displaystyle{ 2\alpha + 2\beta = 90}\)"?? albo ja jestem glupi albo tam jest cos zle ;p

[anna_]

Bo osoba rozwiązująca zadanie kąt prosty miała przy wierzchołku B, a nie C.

[RAFAELLO14]

wogole tego nie widze, jakby ktos mogl zapodac rysunek to bylbym bardzo wdzieczny

[anna_]

Masz rację, tamto rozwiązanie jest błędne.



\(\displaystyle{ |CE|=|EA|=x\\
|AF|=|FB|=y}\)

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta
\(\displaystyle{ \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}\\
\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{2y}{2x}\\
\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{y}{x}}\)

Trójkąt DOB jest podobny do trójkąta GEO
Środkowe w trójkącie przecinają się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
\(\displaystyle{ |OG|=|DC|}\)

\(\displaystyle{ \frac{|BD|}{|OG|} = \frac{|BO|}{|OE|}= \frac{2}{1} \\
\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{y}{x}=\frac{2}{1}\\
y=2x}\)

Obliczam \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ |CA|=2x\\
|AB|=2y=2 \cdot 2x=4x}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{|CA|}{|AB|}\\
cos\alpha= \frac{2x}{4x}\\
cos\alpha= \frac{1}{2}\\
\alpha=60^o}\)

Obliczam \(\displaystyle{ \beta}\)
\(\displaystyle{ \beta=90^o-\alpha\\
\beta=90^o-60^o\\
\beta=30^o}\)
\(\displaystyle{ }\)

[RAFAELLO14]

ooo dzieki wielkie