dowód na kąt w równoległoboku

lpek58 · Post autor: **lpek58** » 7 maja 2009, o 11:53

W równoległoboku ABCD dane są miary kątów |∡ABD| = 30◦ i |∡CAB| = 15◦.
Oblicz miarę kąta DAC.

A więc mamy taką sytuację

mam z tego równanie α+β=135.
do tego przydałoby się jeszcze jedno, ale kombinuje i kombinuje ale nic mi nie wychodzi (co najwyżej powielenie powyższego równania).

Pomożecie?

MistyKu · Post autor: **MistyKu** » 7 maja 2009, o 12:37

a wrong zle popatrzylem :<

lpek58 · Post autor: **lpek58** » 7 maja 2009, o 22:48

MistyKu · Post autor: **MistyKu** » 8 maja 2009, o 20:11

Ty no ale tutaj chyba jest dowolnosc tych katow, po prostu \(\displaystyle{ \alpha + \beta=180}\) , podstaw sobie dowolny kat i zobacz ze tak jest ;o, \(\displaystyle{ \beta > \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ 90> \alpha >15}\) i \(\displaystyle{ 180> \beta>90}\) nic wiecej nie widze tak szczerze-- 8 maja 2009, o 20:26 --ty ale ten \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \beta}\), to jest caly zaznaczony ten kat czy ten kawalek kata bez tych stopni ? : O

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 8 maja 2009, o 22:42

alfa ma 30. wiedząc to, betę łatwo wyliczyć.

MistyKu · Post autor: **MistyKu** » 8 maja 2009, o 22:45

po 1. Skad wiesz ile ma alpha ? po 2. alpha = ten caly kat razem z 15 stopniam czy ten bez tych 15 ? : o

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 8 maja 2009, o 22:54

alfa to ten bez stopni, dopełniający 15 do kąta równoległoboku. wysokość równoległoboku jest połową przekątnej DB - to wynika z trójąta 30, 60, 90. niech środek równoległoboku to będzie O. na przedłużeniu AB w kierunku od A do B odkładam BB'=BO. wtedy kąt OBB' ma 15 - jest połową OBA. czyli OB'=OA=OC, czyli OB' jest prostopadłe do AB, czyli trójkąt BB'C jest prostokątny równoramienny. jednocześnie, kąt COB' ma 30, czyli AOB' ma 150. natomiast kąt OCB' jest jego połową, czyli ma 75. a ponieważ OCB' = alfa + 45, więc alfa = 30.

to zadanie w wersji ogólniejszej jest jako zadanie 6 w mixie 21

MistyKu · Post autor: **MistyKu** » 8 maja 2009, o 23:06

jestem pod wrazeniem

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 8 maja 2009, o 23:15

wierzę, że da się to uprościć

lpek58 · Post autor: **lpek58** » 9 maja 2009, o 17:42

klaustrofob pisze:na przedłużeniu AB w kierunku od A do B odkładam BB'=BO. wtedy kąt OBB' ma 15 - jest połową OBA.

Możesz to dokładniej wyjaśnić, narysować?
Z mojego rysunku wynika że kąt OBB' jest rozwarty (bo punkty B i B' są współliniowe) ...

aha... i w zadaniu mamy policzyć tylko kąt afla, betę wprowadziłem sam niby dla 'wygody'

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 9 maja 2009, o 19:01

inny sposób to twierdzenie sinusów, ale nie chce mi się tego liczyć, więc tylko napiszę: niech O oznacza, jak poprzednio, środek równoległoboku. jest \(\displaystyle{ \frac{BO}{\sin\alpha}=\frac{CO}{\sin\beta}=\frac{CO}{\sin(135^{\circ}-\alpha)}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{BO}{\sin 15^{\circ}}=\frac{OA}{\sin 30^{\circ}}=\frac{CO}{\sin 30^{\circ}}}\) dzieląc stronami pierwsze przez drugie mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\sin 15^{\circ}}{\sin\alpha}=\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin(135^{\circ}-\alpha)}}\) czyli
\(\displaystyle{ \sin 15^{\circ}\cdot \sin(135^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha\cdot\sin 30^{\circ}}\).