czworokat i okręgi

[szymek12]

1. \(\displaystyle{ S}\) jest punktem przecięcia przekątnych czworokąta wypukłego \(\displaystyle{ ABCD}\), zaś punkty \(\displaystyle{ O _{1}}\) , \(\displaystyle{ O _{2}}\) , \(\displaystyle{ O _{3}}\) , \(\displaystyle{ O _{4}}\) są
środkami okręgów opisanych na trójkątach: \(\displaystyle{ ABS}\), \(\displaystyle{ BCS}\), \(\displaystyle{ DCS}\) i \(\displaystyle{ ADS}\). Udowodnij, że czworokąt
\(\displaystyle{ O _{1} O _{2} O _{3} O _{4}}\) jest równoległobokiem.

[Justka]

Boki \(\displaystyle{ O_1O_2 || O_3O_4}\) oraz \(\displaystyle{ O_1O_4 || O_2O_3}\), ponieważ zawiarają się w symertalnych tych samych odcinków |BD| i |AC|. Ponadto \(\displaystyle{ \sphericalangle O_1= \sphericalangle O_3 \wedge \sphericalangle O_2= \sphericalangle O_4}\).