Dowod na kat prosty

[m1chal]

Dany jest kwadrat ABCD w którym przekątne przecinają sie w punkcie O. Punkt K jest środkiem odcinka AO a punkt L srodkiem boku CD. Wykaż ze kąt LKB jest prosty

[Sherlock]

Można to udowodnić np. tak:

Policz z tw. Pitagorasa pomarańczowe przeciwprostokątne w trzech żółtych trójkątach prostokątnych, potem wykaż, że:
\(\displaystyle{ |LK|^2+|BK|^2=|BL|^2}\) tw. Pitagorasa, jeśli równość zachowana to znaczy, że kąt LKB jest prosty

[klaustrofob]

Można też wykazać, że trójkąty prostokątne B_K oraz K_L są przystające (_ oznacza odpowiednie punkty na bokach kwadratu - nie opisane na rysunku Sherlocka). mianowicie: _B=K_ oraz _K = _L. stąd wynika, że kąty LK_ i BK_ uzupełniają się do 90 stopni.

[anna_]

\(\displaystyle{ <ABK=x\\
<KBO=y\\
x+y=45^o}\)

trójkąt BCL jest podobny do trójkąta BOK
\(\displaystyle{ \frac{LC}{CB}= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{KO}{OB}= \frac{1}{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ <LBC=<KBO=y}\)
\(\displaystyle{ <OBL=x\\
<OLB=<LBC=y\\
<KBL=45^o}\)

Trójkąt OBL jest podobny do KOL
\(\displaystyle{ <BOL=<KOL}\)
\(\displaystyle{ \frac{LO}{OB}= \frac{ \sqrt{2} }{2}\\
\frac{KO}{LO}=\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ <KLO=<OBL=x}\)
\(\displaystyle{ <KLB=x+y=45^o}\)

Trójkąt jest więc prostokątny.