Nierówność w trapezie

[Psycho]

Na okręgu o promieniu r opisano trapez, którego przekątne mają długości m i n. Udowodnij, że \(\displaystyle{ m^{2} + n^{2} \ge 16r^{2}}\).

[atimor]

W każdym czworokącie, w który można wpisać okrąg zachodzi:
\(\displaystyle{ d_{1}+d_{2} \ge 4 \sqrt{2} \cdot r}\), gdzie d to przekątna, a r - promień okręgu wpisanego.
(równość zachodzi w przypadku kwadratu, w którym rzeczywiście każda z przekątnych jest równa \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2} \cdot r}\))

Stąd wynika teza. (\(\displaystyle{ m\ge 2 \sqrt{2} \cdot r \wedge n\ge 2 \sqrt{2} \cdot r \Rightarrow m^{2}+ n^{2} \ge 8 r^{2}+ 8 r^{2} = 16 r^{2}}\))

[Psycho]

Mógłbyś pokazać dowód tej nierówności między przekątną, a promieniem? Mi nie udało się jej dowieść

[atimor]

Przedłużyć ramiona trapezu, zauważyć, że w trapezie promień okręgu wpisanego jest połową wysokości, skorzystać ze wzoru na pole trójkąta, znaleźć zależność między długościami podstaw trapezu w otrzymanym trójkącie, skorzystać z własności czworokątów opisanych na okręgach (sumy przeciwległych boków są sobie równe), znaleźć sumę dlugości przekątnych i wyznaczyć minimum...

Dasz radę?

[Psycho]

Niestety, Twój opis jest dla mnie zbyt niejasny..