Dwa koła, czesc wspolna

[meffiu_muvo]

Dane sa dwa koła o promieniu długości 5cm. Wiedząc, że środek jednego z kół należy do okręgu drugiego koła, oblicz pole wsólnej części kół.

[Chromosom]

Miałeś rachunek całkowy?

[atimor]

Ze wzoru na pole części wspólnej dwóch kół:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{4}\pi r_{1}^{2}+\frac{\alpha \pi}{360^{0}}( r_{2}^{2}-r_{1} ^{2})-\frac{sin2\alpha}{2}( r_{1}^{2}+r_{2}^{2})}\),
ponieważ \(\displaystyle{ r_{1}= r_{2}=5cm}\) i \(\displaystyle{ \alpha=120^{0}}\) (czyli \(\displaystyle{ sin2\alpha=sin240 ^{0}=- \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)) mamy:
\(\displaystyle{ P= \frac{25\pi}{4}+ \frac{25 \sqrt{3} }{2}= \frac{25}{2}( \frac{\pi}{2} + \sqrt{3} ) cm ^{2}}\)

[Chromosom]

Bardzo dobre rozwiązanie, muszę przyznać, sam nie wpadłbym na to...

[meffiu_muvo]

Musiałeś sie gdzies pomylic w obliczeniach, powinno wyjść \(\displaystyle{ 25( \frac{2pi}{3}- \frac{\sqrt{3}}{2})}\)

[Revius]

Zrobię troszkę inaczej



Łatwo obliczyć, że odcinek \(\displaystyle{ |CD| = 5 \sqrt{3}}\)
Nasze pole to dwa odcinki koła, zatem, szukane pole to:
\(\displaystyle{ P=2 \left( \frac{1}{3} \pi r ^{2} - \frac{5 \sqrt{3} \cdot 2,5}{2} \right)}\)
Po przekształceniach wychodzi nam:
\(\displaystyle{ 25 \left( \frac{2\pi}{3}- \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\)

[meffiu_muvo]

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi r ^{2}}\)

jak doszłeś do tego?

[Revius]

Ponieważ \(\displaystyle{ \sphericalangle CBD = 120 ^{o}}\) (Te dwa małe trójkąty mają kąty 30, 60, 90)
więc ze wzoru na pole wycinka
\(\displaystyle{ \frac{120}{360} \pi r ^{2} = \frac{1}{3} \pi r ^{2}}\)