Trapez - Uzasadnij oraz Pole

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
patryk0402
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 4 kwie 2009, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szarlejka/Częstochowa
Podziękował: 8 razy

Trapez - Uzasadnij oraz Pole

Post autor: patryk0402 »

Witam.
Mam problem z dwoma zadaniami z trapezem

\(\displaystyle{ 1}\)
W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia i dzieli na połowy kąt ostry trapezu. uzasadnij, że długość górnej podstawy jest równa długości ramienia i jest dwa razy krótsza od długości podstawy dolnej.

\(\displaystyle{ 2}\)
Przekątne trapezu ABCD o podstawach AB i CD przecinają się w punkcie O. Oblicz pole trapezu wiedząc, że pole trójkąta ABO jest równe \(\displaystyle{ p}\), a pole trójkąta CDO jest równe \(\displaystyle{ q}\).

Proszę o pomoc
Dodam że w zadaniu 1 rysunek wychodzi mi dobrze, ale jak to uzasadnić ?
A w 2 zadaniu sam już niewiem jak sie za nie zabrać, myślałem o wyznaczeniu szukanej h i podstaw, ale dalej już nie wiem jak :/

Pozdrawiam i dziękuję za pomoc.
gryzzly92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 16 mar 2007, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Hrubieszów
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Trapez - Uzasadnij oraz Pole

Post autor: gryzzly92 »

zadanie 1.

Zawsze oznaczaj to co wiesz, nawet jak nie wiesz co to.
I.Wiesz że masz kąt alfa między przekątną a dolną podstawą, oraz przek. i ramieniem zatem wpisujesz alfa, alfa.
II. Wiesz że jest kąt prosty. Zatem możesz oznaczyć trzeci kąt trójkąta jako 90st - alfa.
III. Trapez równoramienny → zatem kąty przy tej samej podstawie są równe 90st - alfa = 2*alfa. Stąd alfa = 30. czyli kąt przy dolnej podstawie = 60st.
IV. albo z tego że kąty trapezu w sumie dają 360 albo z tego że przy jednym z ramion kąty trapezu mają 180 wynika że pomiędzy górną podstawą, a ramieniem mamy kąt 120st.
V. Teraz jest już jasne że drugi kąt ostry w tr. rozwartokątnym ma miarę 30 stopni, zatem oba ostre są równe więc i tr. ten jest równoramienny.
VI. Z trójkąta o miarach 30,60,90 mamy że krótsza przypros. jest 2razy krótsza od przeciw. Można to tez dowieść (a właściwie pokazać z funkcji trygonometrycznej, albo po prostu pośrednio z tego co przed chwilą powiedziałem, tylko zauważając ze dany trójkąt jest połówką tr. równobocznego)
PS dobry rysunek nie zawsze pomaga i nie zawsze da się go wykonać, choć często bardzo dobrze pomaga jak umiesz przelać na papier proste rzeczy.
patryk0402
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 4 kwie 2009, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szarlejka/Częstochowa
Podziękował: 8 razy

Trapez - Uzasadnij oraz Pole

Post autor: patryk0402 »

Bardzo dziękuję za pomoc przy tym jednym zadaniu, zaraz weznę się za przelanie tego na papier ^^

A może mógłbyć pomóc w drugim ? Bo szczerze, to sprawiło mi najwięcej kłopotu :/
gryzzly92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 16 mar 2007, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Hrubieszów
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Trapez - Uzasadnij oraz Pole

Post autor: gryzzly92 »

Sorki ale właśnie wychodzę postaram się dziś późno bądź jutro... ale obiecuję napisać w tej sprawie.
Awatar użytkownika
RyHoO16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1822
Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WLKP
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 487 razy

Trapez - Uzasadnij oraz Pole

Post autor: RyHoO16 »

Co do ZAD.2.:
Pole trapezu:
\(\displaystyle{ P= \frac{(a+b) \cdot (h_{1}+h_{2})}{2}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \Delta ABO \sim \Delta CDO}\) dochodzimy do tego, że
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{a}{b} \iff a h_{2}=b h_{1}=x}\)

\(\displaystyle{ x^2=a h_{2} \cdot b h_{1}=a h_{1}\cdot b h_{2}= 4 a h_{2} \cdot b h_{1}=4 p \cdot q}\)

\(\displaystyle{ x=2\sqrt{p \cdot q}}\)

\(\displaystyle{ P=p+q+ 2 \sqrt{p \cdot q}}\)
patryk0402
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 4 kwie 2009, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szarlejka/Częstochowa
Podziękował: 8 razy

Trapez - Uzasadnij oraz Pole

Post autor: patryk0402 »

rozumiem tylko do wyprowadzenia x

Po co bierzemy \(\displaystyle{ x^{2}}\) ??
I dalsze rówananie x^2 nie rozumiem :/
gryzzly92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 16 mar 2007, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Hrubieszów
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Trapez - Uzasadnij oraz Pole

Post autor: gryzzly92 »

To może ja "dojaśnię" zapis by objaśnić gruba czcionka
RyHoO16 pisze:Co do ZAD.2.:
Pole trapezu:
\(\displaystyle{ P= \frac{(a+b) \cdot (h_{1}+h_{2})}{2}}\)

h1 opuszczona na a, zaś h2 opuszczona na b. (wynika z dalszej części zapisu)

co się równa\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}*(ah_{1} + bh_{2} + ah_{2} + bh_{1})}\)
dwa pierwsze po wymnożeniu przez 1/2 dają pola trójkątów, a pozostałych dwóch nie znamy... Zatem poszukajmy...

Ponieważ \(\displaystyle{ \Delta ABO \sim \Delta CDO}\) dochodzimy do tego, że
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{a}{b} \iff a h_{2}=b h_{1}=x}\)

..aha! mamy czemu równają się te nieznane iloczyny z pola trapezu - oba są równe sobie i oznaczmy przez x. Teraz trzeba by coś z nimi zrobić by dojść do p,q... hmmm może przemnożyć?

\(\displaystyle{ x^2=a h_{2} \cdot b h_{1}=a h_{1}\cdot b h_{2}= 4 a h_{2} \cdot b h_{1}=4 p \cdot q}\)

Super! Udało się... zatem zgrabniej to zapiszmy...

\(\displaystyle{ x=2\sqrt{p \cdot q}}\)

i wstawmy do wzoru na pole trapezu...

\(\displaystyle{ P=p+q+ 2 \sqrt{p \cdot q}}\)
...by otrzymać efekt "ciężkiej pracy".
Wszystko to było robione przez forumowicza, tyle że trzeba by tobie bardziej wczytywać się w język... A właściwie niewielka filozofia... zauważam, piszę, liczę, obliczam, znowu zauważam, znowu piszę, tym razem szukam czegoś to znowu coś liczę a potem zauważam... i tak powstał (Czokapik ) -o rozwiązanie...

PS my tam nie bierzemy x^2. My po prostu to mamy... dzięki układaniu równania.
patryk0402
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 4 kwie 2009, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szarlejka/Częstochowa
Podziękował: 8 razy

Trapez - Uzasadnij oraz Pole

Post autor: patryk0402 »

Dziękuję za objaśnienie, ale wcześniej sam do tego doszedłem xD
gryzzly92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 16 mar 2007, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Hrubieszów
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Trapez - Uzasadnij oraz Pole

Post autor: gryzzly92 »

Także dziękuję, a teraz może podziękuj jeszcze RyHoO16-wi. ;D
ODPOWIEDZ