Trapez - Uzasadnij oraz Pole
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 4 kwie 2009, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szarlejka/Częstochowa
- Podziękował: 8 razy
Trapez - Uzasadnij oraz Pole
Witam.
Mam problem z dwoma zadaniami z trapezem
\(\displaystyle{ 1}\)
W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia i dzieli na połowy kąt ostry trapezu. uzasadnij, że długość górnej podstawy jest równa długości ramienia i jest dwa razy krótsza od długości podstawy dolnej.
\(\displaystyle{ 2}\)
Przekątne trapezu ABCD o podstawach AB i CD przecinają się w punkcie O. Oblicz pole trapezu wiedząc, że pole trójkąta ABO jest równe \(\displaystyle{ p}\), a pole trójkąta CDO jest równe \(\displaystyle{ q}\).
Proszę o pomoc
Dodam że w zadaniu 1 rysunek wychodzi mi dobrze, ale jak to uzasadnić ?
A w 2 zadaniu sam już niewiem jak sie za nie zabrać, myślałem o wyznaczeniu szukanej h i podstaw, ale dalej już nie wiem jak :/
Pozdrawiam i dziękuję za pomoc.
Mam problem z dwoma zadaniami z trapezem
\(\displaystyle{ 1}\)
W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia i dzieli na połowy kąt ostry trapezu. uzasadnij, że długość górnej podstawy jest równa długości ramienia i jest dwa razy krótsza od długości podstawy dolnej.
\(\displaystyle{ 2}\)
Przekątne trapezu ABCD o podstawach AB i CD przecinają się w punkcie O. Oblicz pole trapezu wiedząc, że pole trójkąta ABO jest równe \(\displaystyle{ p}\), a pole trójkąta CDO jest równe \(\displaystyle{ q}\).
Proszę o pomoc
Dodam że w zadaniu 1 rysunek wychodzi mi dobrze, ale jak to uzasadnić ?
A w 2 zadaniu sam już niewiem jak sie za nie zabrać, myślałem o wyznaczeniu szukanej h i podstaw, ale dalej już nie wiem jak :/
Pozdrawiam i dziękuję za pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 16 mar 2007, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Hrubieszów
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
Trapez - Uzasadnij oraz Pole
zadanie 1.
Zawsze oznaczaj to co wiesz, nawet jak nie wiesz co to.
I.Wiesz że masz kąt alfa między przekątną a dolną podstawą, oraz przek. i ramieniem zatem wpisujesz alfa, alfa.
II. Wiesz że jest kąt prosty. Zatem możesz oznaczyć trzeci kąt trójkąta jako 90st - alfa.
III. Trapez równoramienny → zatem kąty przy tej samej podstawie są równe 90st - alfa = 2*alfa. Stąd alfa = 30. czyli kąt przy dolnej podstawie = 60st.
IV. albo z tego że kąty trapezu w sumie dają 360 albo z tego że przy jednym z ramion kąty trapezu mają 180 wynika że pomiędzy górną podstawą, a ramieniem mamy kąt 120st.
V. Teraz jest już jasne że drugi kąt ostry w tr. rozwartokątnym ma miarę 30 stopni, zatem oba ostre są równe więc i tr. ten jest równoramienny.
VI. Z trójkąta o miarach 30,60,90 mamy że krótsza przypros. jest 2razy krótsza od przeciw. Można to tez dowieść (a właściwie pokazać z funkcji trygonometrycznej, albo po prostu pośrednio z tego co przed chwilą powiedziałem, tylko zauważając ze dany trójkąt jest połówką tr. równobocznego)
PS dobry rysunek nie zawsze pomaga i nie zawsze da się go wykonać, choć często bardzo dobrze pomaga jak umiesz przelać na papier proste rzeczy.
Zawsze oznaczaj to co wiesz, nawet jak nie wiesz co to.
I.Wiesz że masz kąt alfa między przekątną a dolną podstawą, oraz przek. i ramieniem zatem wpisujesz alfa, alfa.
II. Wiesz że jest kąt prosty. Zatem możesz oznaczyć trzeci kąt trójkąta jako 90st - alfa.
III. Trapez równoramienny → zatem kąty przy tej samej podstawie są równe 90st - alfa = 2*alfa. Stąd alfa = 30. czyli kąt przy dolnej podstawie = 60st.
IV. albo z tego że kąty trapezu w sumie dają 360 albo z tego że przy jednym z ramion kąty trapezu mają 180 wynika że pomiędzy górną podstawą, a ramieniem mamy kąt 120st.
V. Teraz jest już jasne że drugi kąt ostry w tr. rozwartokątnym ma miarę 30 stopni, zatem oba ostre są równe więc i tr. ten jest równoramienny.
VI. Z trójkąta o miarach 30,60,90 mamy że krótsza przypros. jest 2razy krótsza od przeciw. Można to tez dowieść (a właściwie pokazać z funkcji trygonometrycznej, albo po prostu pośrednio z tego co przed chwilą powiedziałem, tylko zauważając ze dany trójkąt jest połówką tr. równobocznego)
PS dobry rysunek nie zawsze pomaga i nie zawsze da się go wykonać, choć często bardzo dobrze pomaga jak umiesz przelać na papier proste rzeczy.
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 4 kwie 2009, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szarlejka/Częstochowa
- Podziękował: 8 razy
Trapez - Uzasadnij oraz Pole
Bardzo dziękuję za pomoc przy tym jednym zadaniu, zaraz weznę się za przelanie tego na papier ^^
A może mógłbyć pomóc w drugim ? Bo szczerze, to sprawiło mi najwięcej kłopotu :/
A może mógłbyć pomóc w drugim ? Bo szczerze, to sprawiło mi najwięcej kłopotu :/
- RyHoO16
- Użytkownik
- Posty: 1822
- Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: WLKP
- Podziękował: 46 razy
- Pomógł: 487 razy
Trapez - Uzasadnij oraz Pole
Co do ZAD.2.:
Pole trapezu:
\(\displaystyle{ P= \frac{(a+b) \cdot (h_{1}+h_{2})}{2}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \Delta ABO \sim \Delta CDO}\) dochodzimy do tego, że
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{a}{b} \iff a h_{2}=b h_{1}=x}\)
\(\displaystyle{ x^2=a h_{2} \cdot b h_{1}=a h_{1}\cdot b h_{2}= 4 a h_{2} \cdot b h_{1}=4 p \cdot q}\)
\(\displaystyle{ x=2\sqrt{p \cdot q}}\)
\(\displaystyle{ P=p+q+ 2 \sqrt{p \cdot q}}\)
Pole trapezu:
\(\displaystyle{ P= \frac{(a+b) \cdot (h_{1}+h_{2})}{2}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \Delta ABO \sim \Delta CDO}\) dochodzimy do tego, że
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{a}{b} \iff a h_{2}=b h_{1}=x}\)
\(\displaystyle{ x^2=a h_{2} \cdot b h_{1}=a h_{1}\cdot b h_{2}= 4 a h_{2} \cdot b h_{1}=4 p \cdot q}\)
\(\displaystyle{ x=2\sqrt{p \cdot q}}\)
\(\displaystyle{ P=p+q+ 2 \sqrt{p \cdot q}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 4 kwie 2009, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szarlejka/Częstochowa
- Podziękował: 8 razy
Trapez - Uzasadnij oraz Pole
rozumiem tylko do wyprowadzenia x
Po co bierzemy \(\displaystyle{ x^{2}}\) ??
I dalsze rówananie x^2 nie rozumiem :/
Po co bierzemy \(\displaystyle{ x^{2}}\) ??
I dalsze rówananie x^2 nie rozumiem :/
-
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 16 mar 2007, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Hrubieszów
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
Trapez - Uzasadnij oraz Pole
To może ja "dojaśnię" zapis by objaśnić gruba czcionka
Wszystko to było robione przez forumowicza, tyle że trzeba by tobie bardziej wczytywać się w język... A właściwie niewielka filozofia... zauważam, piszę, liczę, obliczam, znowu zauważam, znowu piszę, tym razem szukam czegoś to znowu coś liczę a potem zauważam... i tak powstał (Czokapik ) -o rozwiązanie...
PS my tam nie bierzemy x^2. My po prostu to mamy... dzięki układaniu równania.
...by otrzymać efekt "ciężkiej pracy".RyHoO16 pisze:Co do ZAD.2.:
Pole trapezu:
\(\displaystyle{ P= \frac{(a+b) \cdot (h_{1}+h_{2})}{2}}\)
h1 opuszczona na a, zaś h2 opuszczona na b. (wynika z dalszej części zapisu)
co się równa\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}*(ah_{1} + bh_{2} + ah_{2} + bh_{1})}\)
dwa pierwsze po wymnożeniu przez 1/2 dają pola trójkątów, a pozostałych dwóch nie znamy... Zatem poszukajmy...
Ponieważ \(\displaystyle{ \Delta ABO \sim \Delta CDO}\) dochodzimy do tego, że
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{a}{b} \iff a h_{2}=b h_{1}=x}\)
..aha! mamy czemu równają się te nieznane iloczyny z pola trapezu - oba są równe sobie i oznaczmy przez x. Teraz trzeba by coś z nimi zrobić by dojść do p,q... hmmm może przemnożyć?
\(\displaystyle{ x^2=a h_{2} \cdot b h_{1}=a h_{1}\cdot b h_{2}= 4 a h_{2} \cdot b h_{1}=4 p \cdot q}\)
Super! Udało się... zatem zgrabniej to zapiszmy...
\(\displaystyle{ x=2\sqrt{p \cdot q}}\)
i wstawmy do wzoru na pole trapezu...
\(\displaystyle{ P=p+q+ 2 \sqrt{p \cdot q}}\)
Wszystko to było robione przez forumowicza, tyle że trzeba by tobie bardziej wczytywać się w język... A właściwie niewielka filozofia... zauważam, piszę, liczę, obliczam, znowu zauważam, znowu piszę, tym razem szukam czegoś to znowu coś liczę a potem zauważam... i tak powstał (Czokapik ) -o rozwiązanie...
PS my tam nie bierzemy x^2. My po prostu to mamy... dzięki układaniu równania.
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 4 kwie 2009, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szarlejka/Częstochowa
- Podziękował: 8 razy