tales i zad. optymalizacyjne
-
Cecylia
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 21 lut 2009, o 16:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 7 razy
tales i zad. optymalizacyjne
z trojkata ABC w ktorym BC=Ac=10cm, AB=12cm, wycinamy rownoleglobok, ktorego jeden bok jest zawarty w boku AB trojkata, zas drugi w jednym z pozostalych jego bokow tak aby mial najwieksze pole.jakiej dlugosci boki ma taki rownoleglobok i ile wynosi jego pole?
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
tales i zad. optymalizacyjne
To cytat z innego forum (nie jest to moje rozwiązanie):
,,Ja mam nieco inaczej, ale mam nadzieję poprawnie.
(tu był rysunek - nie mam do niego praw)
liczymy sobie najpierw z Pita wysoskość trójkąta (przyda się
\(\displaystyle{ h^2=100-36 \quad\iff\quad h=8}\)
pole trójkąta: \(\displaystyle{ P_{ABC}=\frac{1}{2}8\cdot 12=48}\)
ale pole możemy też wyznaczyć ze wzoru z sinusem kąta (tu kąta oznaczonego na rysunku), nazwijmy go \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}=\frac{1}{2}10\cdot12\cdot\sin\alpha=60\sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ 60\sin\alpha=48 \quad\iff\quad \sin\alpha=\frac{4}{5}}\)
Teraz oznaczmy sobie długość podstawy tego równoległoboku jako \(\displaystyle{ x}\) a jego ramię jako \(\displaystyle{ y}\) (jak na rys.).
Musimy przy tym założyć że chociażby \(\displaystyle{ 0<x\leqslant6}\), bo dla \(\displaystyle{ x>6}\) dostalibyśmy równoległobok "wystający" poza obrzeża trójkąta. Policzmy pole trapezu:
\(\displaystyle{ P=xy\sin\alpha=\frac{4}{5}xy}\)
z Talesa natomiast mamy stosunek \(\displaystyle{ \frac{10}{12}=\frac{y}{x}\quad\iff\quad y=\frac{5}{6}x}\), a stąd pole:
\(\displaystyle{ P=\frac{4}{5}x\cdot\frac{5}{6}x=\frac{2}{3}x^2}\)
I widzimy że pole będzie tym większe im większe będzie \(\displaystyle{ x}\). Dla nas maximum dopuszczalne to \(\displaystyle{ x=6}\), a z proporcji dostajemy od razu \(\displaystyle{ y=5}\), no i pole ostatecznie to \(\displaystyle{ P=24\ j.^2}\)"
,,Ja mam nieco inaczej, ale mam nadzieję poprawnie.
(tu był rysunek - nie mam do niego praw)
liczymy sobie najpierw z Pita wysoskość trójkąta (przyda się
\(\displaystyle{ h^2=100-36 \quad\iff\quad h=8}\)
pole trójkąta: \(\displaystyle{ P_{ABC}=\frac{1}{2}8\cdot 12=48}\)
ale pole możemy też wyznaczyć ze wzoru z sinusem kąta (tu kąta oznaczonego na rysunku), nazwijmy go \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}=\frac{1}{2}10\cdot12\cdot\sin\alpha=60\sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ 60\sin\alpha=48 \quad\iff\quad \sin\alpha=\frac{4}{5}}\)
Teraz oznaczmy sobie długość podstawy tego równoległoboku jako \(\displaystyle{ x}\) a jego ramię jako \(\displaystyle{ y}\) (jak na rys.).
Musimy przy tym założyć że chociażby \(\displaystyle{ 0<x\leqslant6}\), bo dla \(\displaystyle{ x>6}\) dostalibyśmy równoległobok "wystający" poza obrzeża trójkąta. Policzmy pole trapezu:
\(\displaystyle{ P=xy\sin\alpha=\frac{4}{5}xy}\)
z Talesa natomiast mamy stosunek \(\displaystyle{ \frac{10}{12}=\frac{y}{x}\quad\iff\quad y=\frac{5}{6}x}\), a stąd pole:
\(\displaystyle{ P=\frac{4}{5}x\cdot\frac{5}{6}x=\frac{2}{3}x^2}\)
I widzimy że pole będzie tym większe im większe będzie \(\displaystyle{ x}\). Dla nas maximum dopuszczalne to \(\displaystyle{ x=6}\), a z proporcji dostajemy od razu \(\displaystyle{ y=5}\), no i pole ostatecznie to \(\displaystyle{ P=24\ j.^2}\)"