trojkat prostokatny i tales

[Cecylia]

w trojkacie prostokatnym ABC gdzie kat ABC ma miare 90 stopni mamy: |AC|=b, |AB|<|BC|. w tym trojkacie poprowadzono prosta rownolegla do boku AB. odleglosc tej prostej od boku AB jest rowna AB.odcinek lezacy na tej prostej, zawarty w trojkacie, ma dlugosc 2/3}AB}. oblicz pole trojkata.

[Revius]

Mamy rysunek:


\(\displaystyle{ |AB|=|BD|=|AF|=x}\)
\(\displaystyle{ |AC|=b}\)

\(\displaystyle{ |EF|=\frac{1}{3} x}\)

\(\displaystyle{ |EF| ^{2} + |AF|^{2} = |AE|^{2}}\)
\(\displaystyle{ |AE|= \frac{ \sqrt{10} }{3} x}\)

tw. Talesa:

\(\displaystyle{ \frac{b-\frac{ \sqrt{10} }{3} x}{\frac{2}{3} x} = \frac{b}{x}}\)

\(\displaystyle{ b-\frac{ \sqrt{10} }{3} x = \frac{\frac{2}{3} xb}{x}}\)

\(\displaystyle{ b-\frac{ \sqrt{10} }{3} x = \frac{2}{3} b}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} b = \frac{\sqrt{10}}{3} x}\)

\(\displaystyle{ b = \sqrt{10}x}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{ \sqrt{10}b }{10}}\)


\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{10}b }{10} \right) ^{2} + |BC| ^{2} = b ^{2}}\)

\(\displaystyle{ |BC| = \frac{3 \sqrt{10} }{10} b}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{|BC| \cdot |AB|}{2} = \frac{3}{20} b ^{2}}\)

Możliwe, że jest prościejsze rozwiązanie tego zadania, możliwe również, że zrobiłem błąd

[Dasio11]

No, troszkę łatwiejsze :>
\(\displaystyle{ |CD|=y \\
\\
\frac{x}{x+y}=\frac{\frac{2}{3}x}{y} \\
\\
y=2x \\
b^2=x^2+(x+y)^2=x^2+(3x)^2 \\
b=x\sqrt{10} \\
P=\frac{x\cdot 3x}{2}=1,5x^2 \\
x=\frac{b}{\sqrt{10}} \\
P=\frac{1,5b^2}{10}=\frac{3}{20} b^2}\)