Witam!
Nie moge sobie poradzic z wydaje mi sie bardzo prostym zadankiem:
Obwód prostokąta jest równy 100cm. Wyznacz długości boków tak aby pole tego prostokąta było największe.
Z góry dzieki.
j
największe pole prostokąta
-
thralll
- Użytkownik
- Posty: 224
- Rejestracja: 29 maja 2008, o 23:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 54 razy
największe pole prostokąta
To tzw. zadanie optymalizacyjne, zadania takie potrafią być trudne, ale to akurat jest dość proste. Wystarczy ułożyć układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} L=2a+2h=100 \\ P=ah \end{cases}}\)
Nie możemy zapomniec o dziedzinie \(\displaystyle{ a,h \in (0,50)}\)
Wyciągamy z pierwszego jakąś literkę (a lub h) i podstawiamy do drugiego (tym samym sprowadzamy pole do funkcjji jednej zmiennej):
\(\displaystyle{ P=a(50-a)}\) Wykresem tej funkcji jest parabola o wierzchołkach skierowanych w dół, więc maksimum funkcji osiagniemy w wierzchołku. Rozwijamy wzór \(\displaystyle{ P=a(50-a)=-a^2+50a}\) i liczymy X współrzędną wierzchołka \(\displaystyle{ X_w= \frac{-50}{2*(-1)} =25}\) Z obliczeń wnioskujemy że pole będzie największe gdy a=25 z zależności obwodu możemy obliczyć h=25. Ponieważ obie wyliczone zmienne należą do dziedziny, możemy podać odpowiedź, że największe pole spośrod wszystkich prostokątów o obwodzie 100 ma kwadrat o boku 25 (w końcu kwadrat też jest prostokątem ).
pozdrawiam
thralll
\(\displaystyle{ \begin{cases} L=2a+2h=100 \\ P=ah \end{cases}}\)
Nie możemy zapomniec o dziedzinie \(\displaystyle{ a,h \in (0,50)}\)
Wyciągamy z pierwszego jakąś literkę (a lub h) i podstawiamy do drugiego (tym samym sprowadzamy pole do funkcjji jednej zmiennej):
\(\displaystyle{ P=a(50-a)}\) Wykresem tej funkcji jest parabola o wierzchołkach skierowanych w dół, więc maksimum funkcji osiagniemy w wierzchołku. Rozwijamy wzór \(\displaystyle{ P=a(50-a)=-a^2+50a}\) i liczymy X współrzędną wierzchołka \(\displaystyle{ X_w= \frac{-50}{2*(-1)} =25}\) Z obliczeń wnioskujemy że pole będzie największe gdy a=25 z zależności obwodu możemy obliczyć h=25. Ponieważ obie wyliczone zmienne należą do dziedziny, możemy podać odpowiedź, że największe pole spośrod wszystkich prostokątów o obwodzie 100 ma kwadrat o boku 25 (w końcu kwadrat też jest prostokątem ).
pozdrawiam
thralll
Ostatnio zmieniony 29 kwie 2009, o 10:24 przez thralll, łącznie zmieniany 1 raz.
największe pole prostokąta
Wielkie dzieki, no własnie wiedziałem że bedzie funkcja kwadratowa ale nie umiełem to tego dojsc i tak zgrabnie to wyjaśnić. Moja dziewczyna sie ucieszy . Masz u mnie piwko jak bedziesz w poznaniu.
SZACUN
SZACUN