Dwa boki trójkąta

[emma 123]

Dwa boki trójkąta mają dł. 17cm i 28cm, a pole tego trójkąta jest równe 210cm2. Wiedząc,że promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma dł. 14 1/6 cm oblicz:
a) dł. trzeciego boku trójkąta
b)dł. promienia okręgu wpisanego w trójkąt
c) sumę sinusów kątów w tym trójkącie

[agulka1987]

\(\displaystyle{ a=17 cm}\)
\(\displaystyle{ b=28 cm}\)
\(\displaystyle{ P=210 cm^2}\)
\(\displaystyle{ R=14 \frac{1}{6} cm = \frac{85}{6} cm}\)

a)

\(\displaystyle{ R= \frac{abc}{4P}}\)

\(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{85}{6} = \frac{17 \cdot 28 \cdot c}{4 \cdot 210}}\)

\(\displaystyle{ \frac{85}{3} = \frac{476c}{840}}\)

\(\displaystyle{ c= \frac{85}{3} \cdot \frac{840}{476} = 25 cm}\)


b)

\(\displaystyle{ r= \frac{2P}{a+b+c}}\)

\(\displaystyle{ r= \frac{2 \cdot 210}{17+28+25} = \frac{420}{70} = 6 cm}\)


c)

\(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha} = \frac{b}{sin\beta} = \frac{c}{sin\gamma} = 2R}\)

\(\displaystyle{ 2R= \frac{a}{sin\alpha}}\)

\(\displaystyle{ \frac{85}{3} = \frac{17}{sin\alpha}}\)

\(\displaystyle{ sin\alpha = 17 \cdot \frac{3}{85} = \frac{3}{5}}\)


\(\displaystyle{ 2R= \frac{b}{sin\beta}}\)

\(\displaystyle{ sin\beta = 28 \cdot \frac{3}{85} = \frac{84}{85}}\)


\(\displaystyle{ 2R= \frac{c}{sin\gamma}}\)

\(\displaystyle{ sin\gamma = 25 \cdot \frac{3}{85} = \frac{15}{17}}\)